|
Если мы докажем, что [math]\mathcal{R} \subset \mathcal{A}[/math], то есть, любое множество полукольца хорошо разбивает любое другое, то , взяв любое [math]A \in \mathcal{R}[/math], [math]\mu^*A = \mu A[/math], так как [math]\mathcal{R} subset \mathcal{A}[/math]. Но [math]\mu^*[/math] порождена [math]m[/math] ([math]\mu^* |_\mathcal{R} = m[/math]). Но [math]A\in \mathcal{A}[/math], по определению [math]\mu^*[/math], [math]\mu^* A \leq mA \Rightarrow \mu A = mA[/math]
Значит, второй пункт вытекает из первого. Докажем первый пункт.
[math]\forall A \in \mathcal{R}\ \forall E \subset X[/math] нужно, чтобы [math]\mu^* E \geq \mu^*(E\cap A) + \mu^*(E\cap\bar A)[/math]
Надо доказать, для [math]\mu^* E \lt +\infty[/math], обратное — очевидно.
Воспользуемся тем, что [math]\mu^*[/math] порождена [math]m[/math]:
[math]\forall \varepsilon \gt 0\ \exists A_1, A_2 \ldots A_n \ldots \in \mathcal{R} : \bigcup\limits_j A_j \supset E[/math], [math]\sum\limits_j mA_j \lt \mu E + \varepsilon[/math]
Пересекаем это включение с [math]A[/math] (Шаблон:Todo)
[math]E \cap A \subset \bigcap\limits_j(A_j \cap A)[/math]
По аксиомам полукольца, [math]A_j\cap A \in \mathcal{R}[/math].
Значит, мы получили покрытие этого множества элементами полукольца.
Тогда, по определению [math]\mu^*[/math], порождённой [math]m[/math]
[math]\mu^*(E\cap A) \leq \sum\limits_j m(A_j\cap A)[/math]
[math]E\cap\bar A \subset \bigcup\limits_j(A_j\cap\bar A)[/math]. Однако, здесь нет гарантий, что [math]A_j\cap\bar A \in \mathcal{R}[/math].
[math]A_j\cap\bar A = A_j\setminus A = A_j\setminus (A\cap A_j)[/math], [math]A\cap A_j \in \mathcal{R}[/math]
Тогда, по аксиомам полукольца, [math]A_j\setminus (A\cap A_j) = \bigcup\limits_p D_{jp}[/math] — дизъюнктны в [math]\mathcal{R}[/math].
[math]E\cap\bar A \subset \bigcup\limits_j \bigcup\limits_p D_{jp}[/math], все [math]D[/math] — из полукольца.
Значит, [math]E\cap\bar A[/math] покрывается элементами полукольца, так как [math]\mu^*[/math] порождена [math]m[/math].
[math]\mu^*(E\cap\bar A) \leq \sum\limits_j \sum\limits_p mD_{jp}[/math]
[math]A_j = (A_j \cap A) \cup \bigcup\limits_p D_{jp}[/math] — из полукольца.
Таким образом, [math]A_j \in \mathcal{R}[/math] разбивается в дизъюнктное объединение множеств из [math]\mathcal{R}[/math]. Отсюда, по [math]\sigma[/math]-аддитивности меры,
[math]mA_j = m(A\cap A_j) + \sum\limits_p mD_{jp}[/math]
[math]\sum\limits_p mD_{jp} = mA_j - m(A\cap A_j)[/math]
Тогда, [math]\mu^*(E\cap\bar A)\leq \sum(mA_j- m(A\cap A_j))[/math]
Складываем с предыдущим неравенством.
[math]\mu^*(E\cap A) + \mu^*(E\cap\bar A) \leq \sum\limits_j mA_j \lt \mu^*E+\varepsilon[/math]
При [math]\varepsilon \to 0[/math] получаем требуемое неравенство. | 