Независимые случайные величины — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Честная игральная кость)
Строка 5: Строка 5:
 
== Замечание ==
 
== Замечание ==
  
Стоить отметить, что если <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> - дискретные случайные величины, то достаточно рассматривать случай <tex>\xi</tex> = <tex>\alpha</tex>, <tex>\eta</tex> = <tex>\beta</tex>. Но не достаточно рассматривать случай <tex>\alpha</tex> = <tex>\beta</tex>. Покажем контр-пример для этого случая. Рассмотрим вероятностное пространство честная монета. <tex>\Omega</tex> = {0, 1}. Пусть <tex>\xi</tex>(i) = i, <tex>\eta</tex>(i) = i + 2. Если перебрать все значения <tex>\alpha</tex> (<tex>\alpha</tex> = <tex>\beta</tex>), то можно показать, что события независимы. Но сами случайные величины не являются независимыми.  
+
Стоить отметить, что если <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> - дискретные случайные величины, то достаточно рассматривать случай <tex>\xi = \alpha</tex>, <tex>\eta = \beta</tex>. Но не достаточно рассматривать случай <tex>\alpha = \beta</tex>. Покажем контр-пример для этого случая. Рассмотрим вероятностное пространство честная монета. <tex>\Omega = \mathcal {f} 0, 1 \mathcal {g}</tex>. Пусть <tex>\xi (i) = i</tex>, <tex>\eta(i) = i + 2</tex>. Если перебрать все значения <tex>\alpha (\alpha = \beta</tex>), то можно показать, что события независимы. Но сами случайные величины не являются независимыми.  
 
== Примеры ==
 
== Примеры ==
  
 
=== Честная игральная кость ===
 
=== Честная игральная кость ===
Рассмотрим вероятностное пространство честная игральная кость <tex>\Omega</tex> = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> - случайные величины. <tex>\xi</tex>(i) = i % 2, <tex>\eta</tex>(i) = [i <tex>\geqslant</tex> 3]. Для того, чтобы показать, что они независимы, надо рассмотреть все <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex>. Для примера рассмотрим <tex>\alpha</tex> = 0, <tex>\beta</tex> = 0. Тогда P(<tex>\xi \leqslant</tex> 0) = 1/2, P(<tex>\eta \leqslant</tex> 0) = 2/3, P((<tex>\xi \leqslant</tex> 0)<tex>\cap</tex>(<tex>\eta \leqslant</tex> 0)) = 1/3. Эти события независимы, а значит случайные величины <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> независимы.
+
Рассмотрим вероятностное пространство честная игральная кость <tex>\Omega = \mathcal {f} 1, 2, 3, 4, 5, 6 \mathcal {g}</tex>. <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> - случайные величины. <tex>\xi (i) = i \% 2</tex>, <tex>\eta (i) = [i \geqslant 3]</tex>. Для того, чтобы показать, что они независимы, надо рассмотреть все <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex>. Для примера рассмотрим <tex>\alpha = 0</tex>, <tex>\beta = 0</tex>. Тогда <tex>P( \xi \leqslant 0) = \frac{1}{2}</tex>, <tex>P( \eta \leqslant 0) = \frac{2}{3}</tex>, <tex>P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 0)) = \frac{1}{3}</tex>. Эти события независимы, а значит случайные величины <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> независимы.
  
 
== Литература и источники информации ==
 
== Литература и источники информации ==
  
 
[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9)#.D0.9D.D0.B5.D0.B7.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D1.81.D0.B8.D0.BC.D1.8B.D0.B5_.D1.81.D0.BB.D1.83.D1.87.D0.B0.D0.B9.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.B2.D0.B5.D0.BB.D0.B8.D1.87.D0.B8.D0.BD.D1.8B Википедия]
 
[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9)#.D0.9D.D0.B5.D0.B7.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D1.81.D0.B8.D0.BC.D1.8B.D0.B5_.D1.81.D0.BB.D1.83.D1.87.D0.B0.D0.B9.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.B2.D0.B5.D0.BB.D0.B8.D1.87.D0.B8.D0.BD.D1.8B Википедия]

Версия 06:02, 5 декабря 2011

Определение

Независимые случайные величины - [math] \xi [/math] и [math]\eta[/math] называются независимыми, если для [math]\forall \alpha [/math] и [math]\beta \in \mathbb R[/math] события [math] \xi \leqslant \alpha[/math] и [math] \eta \leqslant \beta[/math] независимы. Иначе говоря, случайная величина [math]\xi[/math] называется независимой от величины [math]\eta[/math], если вероятность получить при измерениях некоторое значение величины [math]\xi[/math] не зависит от значения величины [math]\eta[/math].

Замечание

Стоить отметить, что если [math]\xi[/math] и [math]\eta[/math] - дискретные случайные величины, то достаточно рассматривать случай [math]\xi = \alpha[/math], [math]\eta = \beta[/math]. Но не достаточно рассматривать случай [math]\alpha = \beta[/math]. Покажем контр-пример для этого случая. Рассмотрим вероятностное пространство честная монета. [math]\Omega = \mathcal {f} 0, 1 \mathcal {g}[/math]. Пусть [math]\xi (i) = i[/math], [math]\eta(i) = i + 2[/math]. Если перебрать все значения [math]\alpha (\alpha = \beta[/math]), то можно показать, что события независимы. Но сами случайные величины не являются независимыми.

Примеры

Честная игральная кость

Рассмотрим вероятностное пространство честная игральная кость [math]\Omega = \mathcal {f} 1, 2, 3, 4, 5, 6 \mathcal {g}[/math]. [math]\xi[/math] и [math]\eta[/math] - случайные величины. [math]\xi (i) = i \% 2[/math], [math]\eta (i) = [i \geqslant 3][/math]. Для того, чтобы показать, что они независимы, надо рассмотреть все [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math]. Для примера рассмотрим [math]\alpha = 0[/math], [math]\beta = 0[/math]. Тогда [math]P( \xi \leqslant 0) = \frac{1}{2}[/math], [math]P( \eta \leqslant 0) = \frac{2}{3}[/math], [math]P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 0)) = \frac{1}{3}[/math]. Эти события независимы, а значит случайные величины [math]\xi[/math] и [math]\eta[/math] независимы.

Литература и источники информации

Википедия