Изменения

Стоить отметить, что если <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> - дискретные случайные величины, то достаточно рассматривать случай <tex>\xi</tex> = <tex>\alpha</tex>, <tex>\eta</tex> = <tex>\beta</tex>. Но не достаточно рассматривать случай <tex>\alpha</tex> = <tex>\beta</tex>. Покажем контр-пример для этого случая. Рассмотрим вероятностное пространство честная монета. <tex>\Omega</tex> = \mathcal {f} 0, 1\mathcal {g}</tex>. Пусть <tex>\xi</tex>(i) = i</tex>, <tex>\eta</tex>(i) = i + 2</tex>. Если перебрать все значения <tex>\alpha</tex> (<tex>\alpha</tex> = <tex>\beta</tex>), то можно показать, что события независимы. Но сами случайные величины не являются независимыми.

Рассмотрим вероятностное пространство честная игральная кость <tex>\Omega</tex> = \mathcal {f} 1, 2, 3, 4, 5, 6\mathcal {g}</tex>. <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> - случайные величины. <tex>\xi</tex>(i) = i \% 2</tex>, <tex>\eta</tex>(i) = [i <tex>\geqslant3]</tex> 3]. Для того, чтобы показать, что они независимы, надо рассмотреть все <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex>. Для примера рассмотрим <tex>\alpha= 0</tex> = 0, <tex>\beta= 0</tex> = 0. Тогда P(<tex>P( \xi \leqslant</tex> 0) = \frac{1}{2}</2tex>, P(<tex>P( \eta \leqslant</tex> 0) = \frac{2}{3}</3tex>, <tex>P((<tex>\xi \leqslant</tex> 0)<tex>\cap</tex>(<tex>\eta \leqslant</tex> 0)) = \frac{1}{3}</3tex>. Эти события независимы, а значит случайные величины <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> независимы.