285
правок
Изменения
→Симуляция распределений
==Симуляция распределений==
Рассмотрим следующий случай. Допустим, у нас есть честная монета. А нам надо получить распределения с вероятностями <tex>1/3</tex>. Проведем следующий эксперимент. Подкинем : подкинем монету дважды. И , и, если выпадет два раза орел - , эксперимент не удался, повторим его.Предположим, что у нас есть последовательность таких экспериментов. Вероятность успеха <tex dpi = "140">p = \frac{3}{4}</tex>. Вероятность неудачи <tex dpi = "140">q = 1 - p = \frac{1}{4}</tex> Сколько экспериментов будет проведено до того, как будет достигнут успех? Пусть случайная величина <tex>X</tex> равна количествуэкспериментовколичеству экспериментов, необходимых для достижения успеха. Тогда <tex>X</tex> принимает значения <tex>\{1,2,...\}</tex> и для <tex> k \ge 1 </tex>: <tex dpi = "140">{p}(X = k) = q^{k-1}p,</tex>,поскольку перед наступлением успешного эксперимента было проведено <tex> k - 1 </tex> неуспешных. Распределение вероятности, удовлетворяющее этому уравнению , называется геометрическим распределением.Так как <tex> q < 1 </tex> , можно посчитать математическое ожидание геометрического распределения. :
: <tex dpi = "140">E(X) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty}kq^{k-1}p = \frac{p}{q}\sum\limits_{k = 0}^{\infty}kq^{k} = \frac{p}{q} \frac{q}{(1 - q)^{2}} = \frac{1}{p} =\frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}. </tex>
Дисперсия вычисляется аналогично.:
: <tex dpi = "140">D(X) = \frac{q}{p^{2}} = \frac{4}{9} </tex>
Обобщим.
Допустим , у нас есть распределение <tex>p.</tex> . Нам нужно получить распределение <tex>q.</tex>:* Для начала , рассмотрим случай, когда все <tex>p_i = \frac{1}{k},</tex> , а в распределениии <tex>q </tex> количество элементарных исходов равно <tex>2.</tex> . Проводим эксперимент, если попадаем в область , пересекающуюся с <tex> q_1 </tex> и <tex> q_2,</tex> , то увеличиваем ее её и повторяем эксперимент. На рисунке ниже красным обозначенно распределение <tex> q. </tex> . Вероятность того, что на этом шаге эксперимент не закончится {{---}} <tex>\frac{1}{k}</tex> . Математическое ожидание количества экспериментов {{---}} <tex> \frac{k}{k-1}, max(\frac{k}{k-1}) = 2 (</tex>при <tex>k = 2) </tex>
[[Файл:Sim pic1.JPG|400px]]
* Теперь рассмотри рассмотрим случай, когда все элементарные исходы <tex>p_i</tex> по прежнему равновероятны <tex>(p_i = \frac{1}{k}),</tex>, а количество элементарных исходов распределения <tex>q</tex> равно <tex>n (\sum\limits_{j=1}^{n}q_j = 1). </tex> . Повторим эксперимент <tex> t </tex> раз. <tex> k^t \ge 2n, t \ge \log\limits_{k}2n </tex> . Отрезок разбился на <tex> k^t </tex> отрезков. Стык будет не более, чем в половине отрезков. Математическое ожидание количества экспериментов <tex> \approx 2t </tex>
[[Файл:Sim pic2.JPG|400px]]
* <tex>p_i, \sum\limits_{i}p_i = 1, q_j, \sum\limits_{j}q_j = 1. </tex> Берем <tex> p_i </tex> , и пусть оно максимальной длины. Проводим <tex> t </tex> экспериментов. <tex>{p_i}^t < \frac{1}{2n}, </tex> , все остальные еще меньше. Суммарная длина отрезков не больше <tex>\frac{1}{2}.</tex> . Нужно <tex> t \ge \log\limits_{p}\frac{1}{2n} </tex>
[[Файл:Sim pic3.JPG|400px]]
Вывод: из любого исходного распределения можно получить любое нужное нам распределение.
