88
правок
Изменения
Нет описания правки
* Решение задачи подсчета объектов в комбинаторике. Например в доказательстве [[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые. Пентагональная теорема Эйлера|пентагональной теоремы]] или в задаче нахождения количества расстановок m ладей на доске n × n.
* Вычисление бесконечных сумм.
== Решение рекуррентных соотношений ==
Пусть последовательность <tex>(a_0, a_1, a_2, ...)</tex> удовлетворяет некоторому рекуррентному соотношению. Мы хотим получить выражение для <tex>a_n</tex> (при <tex>n \ge 0</tex>) в замкнутом виде (то есть выразив лишь через номер члена последовательности).
Для демонстрации универсальности метода рассмотрим довольно произвольное рекуррентное соотношение:
<tex>a_0=1,</tex>
<tex>a_1=2,</tex>
<tex>a_n=6a_{n-1}-8a_{n-2}+n, n \ge 2</tex>
Запишем производящую функцию для этой последовательности и преобразуем правую часть:
<tex>G(z)=a_0+a_1z+\sum_{n=2}^\infty (6a_{n-1}-8a_{n-2}+n) z^n</tex>
<tex>G(z)=a_0+a_1z+6\sum_{n=2}^\infty a_{n-1}z^n - 8\sum_{n=2}^\infty a_{n-2}z^n+\sum_{n=2}^\infty n z^n</tex>
<tex>G(z)=a_0+a_1z+6z\sum_{n=1}^\infty a_{n}z^n - 8z^2\sum_{n=0}^\infty a_{n}z^n+\sum_{n=2}^\infty n z^n</tex>
<tex>G(z)=a_0+a_1z+6z(G(z)-a_0) - 8z^2G(z)z^n+\sum_{n=2}^\infty n z^n</tex>
<tex>G(z)=1-4z+6zG(z) - 8z^2G(z)z^n+\sum_{n=2}^\infty n z^n</tex>
Для того, чтобы замкнуть последнюю сумму воспользуемся очень важным приемом, который используется при преобразовании производящих функций. Фактически мы имеем дело с последовательностью <tex>nb_n</tex>(у нас последовательность <tex>b_n</tex>-константная единица). Такая последовательность получается путём дифференцирования функции B(z) с последующим умножением результата на z:
<tex>zB'(z)=z(\sum_{n=0}^\infty b_n z^n)'=z\sum_{n=1}^\infty nb_n z^{n-1}=\sum_{n=0}^\infty nb_n z^n</tex>
Тогда замкнем последнее слагаемое следующим образом:
<tex>\sum_{n=2}^\infty n z^n=z \sum_{n=2}^\infty n z^{n-1}= z \frac{d}{dz} \sum_{n=2}^\infty z^n</tex>
<tex>\sum_{n=2}^\infty z^n=\sum_{n=0}^\infty z^n-1-z=\frac{1}{1-z}-1-z=\frac{z^2}{1-z}</tex>
<tex>z \frac{d}{dz} \frac{z^2}{1-z}=\frac{z^2(2-z}{(1-z)^2}</tex>
== Ссылки ==
