Изменения
Нет описания правки
* <tex>\prod_{n=1}^\infty (1-x^n)</tex> {{---}} производящая функция для разности количества разбиений числа n в четное и нечетное число различных слагаемых. Например коэффициент при <tex>x^5</tex> {{---}} +1, потому-что существует два разбиение на четное число различных слагаемых (4+1; 3+2) и одно на нечетное (5). Правильность этого легко осознать, если понять, что каждая скобка представляет какое-то слагаемое и мы можем его взять (второе слагаемое {{---}} <tex>-x^k</tex>) или не взять (первое {{---}} 1). Эта производящая функция используется в комбинаторном доказательстве пентагональной теоремы.
* <texdpi = "180">\prod_{n=1}^\infty \frac{1}{1-x^n}</tex> {{---}} производящая функция для последовательности <tex>p_n</tex>, где <tex>p_i</tex> {{---}} количество разбиений числа i на слагаемые.
* <texdpi = "180">\prod_{n=1}^\infty (1+x^n)</tex> {{---}} производящая функция для последовательности <tex>d_n</tex>, где <tex>d_i</tex> {{---}} количество разбиений на различные слагаемые.
* <texdpi = "180">\prod_{n=1}^\infty (1+x^{2n-1})</tex> {{---}} производящая функция для последовательности <tex>l_n</tex>, где <tex>l_i</tex> {{---}} количество разбиений на нечётные слагаемые. С помощью метода производящих функций можно доказать, что производящие функции последовательностей равны, соответственно <tex>d_n=l_n</tex>:<texdpi = "180">\prod_{n=1}^\infty (1+x^{n})=\prod_{n=1}^\infty \frac{1-x^{2n}}{1-x^n}=\frac{1-x^2}{1-x}\frac{1-x^4}{1-x^2}\frac{1-x^6}{1-x^3}...=</tex>
<texdpi = "180">=\frac{1}{1-x}\frac{1}{1-x^3}\frac{1}{1-x^5}...=\prod_{n=1}^\infty (1+x^{2n-1})</tex>
Метод производящих функций также используется для нахождения математического ожидания и дисперсии различных распределений в теории вероятности. Например в геометрическом распределении c p=1/2 для нахождения дисперсии <tex>D(\xi)=E(\xi^2)-(E(\xi))^2</tex> нужно найти два мат. ожидания:
<texdpi = "180">\sum_{n=1}^\infty n (\frac{1}{2})^n=2</tex>
<texdpi = "180">\sum_{n=1}^\infty n^2 (\frac{1}{2})^n=6</tex>
которые фактически являются производящими функциями последовательностей <tex>1, 2, 3...</tex> и <tex>1, 4, 9...</tex>, где z взято равным <tex>\frac{1}{2}</tex>
<texdpi = "180">\sum_{n=2}^\infty n z^n=z \sum_{n=2}^\infty n z^{n-1}= z (\sum_{n=2}^\infty z^n)'</tex>
<texdpi = "180">\sum_{n=2}^\infty z^n=\sum_{n=0}^\infty z^n-1-z=\frac{1}{1-z}-1-z=\frac{z^2}{1-z}</tex>
<texdpi = "180">z (\frac{z^2}{1-z})'=\frac{z^2(2-z)}{(1-z)^2}</tex>
<texdpi = "180">G(z)=1-4z+6zG(z) - 8z^2G(z)+\frac{z^2(2-z)}{(1-z)^2}</tex>
<texdpi = "180">G(z)=\frac{1-6z+11z^2-5z^3}{(1-6z+8z^2)(1-z)^2}</tex>
<texdpi = "180">G(z)=\frac{1-6z+11z^2-5z^3}{(1-6z+8z^2)(1-z)^2}=\frac{1-6z+11z^2-5z^3}{(1-2z)(1-4z))(1-z)^2}=\frac{1/3}{(1-z)^2}+\frac{7/9}{1-z}-\frac{1/2}{1-2z}+\frac{7/18}{1-4z}</tex>
Разложим первое слагаемое в ряд, используя [http://www.genfunc.ru/theory/pril02/ расширенные биномиальные коэффициенты]:
<texdpi = "180">\frac{1}{(1-z)^2}=(1-z)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty} {-2\choose n}(-z)^n=</tex>
<texdpi = "180">=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n{n+1\choose 1}(-z)^n=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)z^n</tex>
<texdpi = "180">G(z)=\frac{1/3}{(1-z)^2}+\frac{7/9}{1-z}-\frac{1/2}{1-2z}+\frac{7/18}{1-4z}=</tex>
<texdpi = "180">=\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)z^n +\frac{7}{9}\sum_{n=0}^{\infty} z^n - \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty} 2^n z^n + \frac{7}{18}\sum_{n=0}^{\infty} 4^n z^n</tex>
<texdpi = "180">a_n=\frac{n+1}{3}+\frac{7}{9}-\frac{2^n}{2}+\frac{7 \cdot 4^n}{18}=\frac{7 \cdot 4^n+6n+20}{18}-2^{n-1}</tex>
== Ссылки ==
