Алгоритм Флойда — Уоршалла — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Доказательство)
(Доказательство)
Строка 16: Строка 16:
 
<wikitex>Назовем ''промежуточной'' вершину некоторого пути $p = \left \langle v_0, v_1, \dots, v_k \right \rangle$, принадлежащую множеству вершин этого пути и отличающуюся от начальной и конечной вершин, то есть принадлежащую $\left \{ v_1, v_2, \dots, v_{k-1} \right \}$. Рассмотрим произвольную пару вершин $i, j \in V$ и все пути между ними, промежуточные вершины которых принадлежат множеству вершин с номерами $\left \{ 1, 2, \dots, k \right \}$. Пусть $p$ - некоторый из них. Рассмотрим случаи:
 
<wikitex>Назовем ''промежуточной'' вершину некоторого пути $p = \left \langle v_0, v_1, \dots, v_k \right \rangle$, принадлежащую множеству вершин этого пути и отличающуюся от начальной и конечной вершин, то есть принадлежащую $\left \{ v_1, v_2, \dots, v_{k-1} \right \}$. Рассмотрим произвольную пару вершин $i, j \in V$ и все пути между ними, промежуточные вершины которых принадлежат множеству вершин с номерами $\left \{ 1, 2, \dots, k \right \}$. Пусть $p$ - некоторый из них. Рассмотрим случаи:
 
* $k$ не является промежуточной вершиной пути $p$. Тогда все его промежуточные пути принадлежат множеству вершин с номерами $\left \{ 1, 2, \dots, k-1 \right \} \subset \left \{ 1, 2, \dots, k \right \}$, то есть существует путь с промежуточными вершинами в исходном множестве.
 
* $k$ не является промежуточной вершиной пути $p$. Тогда все его промежуточные пути принадлежат множеству вершин с номерами $\left \{ 1, 2, \dots, k-1 \right \} \subset \left \{ 1, 2, \dots, k \right \}$, то есть существует путь с промежуточными вершинами в исходном множестве.
* $k$ является промежуточной вершиной пути $p$. Тогда этот путь можно разбить на два пути: $i \xrightarrow{p_1} k \xrightarrow{p_2} j$. Как $p_1$, так и $p_2$ существуют и содержат в качестве промежуточных вершины из множества $\left \{ 1, 2, \dots, k-1 \right \} \subset \left \{ 1, 2, \dots, k \right \}$ (так как вершина $k$ - либо конечная, либо начальная, то она не может быть в множестве по нашему определению). Действительно, если они не существуют, то пути $p$ тоже не может существовать, так как добраться, например, от вершины $i$ до $k$ по вершинам из множества \left \{ 1, 2, \dots, k \right \} невозможно. Но этого быть не может по тому, как мы определили путь $p$.
+
* $k$ является промежуточной вершиной пути $p$. Тогда этот путь можно разбить на два пути: $i \xrightarrow{p_1} k \xrightarrow{p_2} j$. Как $p_1$, так и $p_2$ существуют и содержат в качестве промежуточных вершины из множества $\left \{ 1, 2, \dots, k-1 \right \} \subset \left \{ 1, 2, \dots, k \right \}$ (так как вершина $k$ - либо конечная, либо начальная, то она не может быть в множестве по нашему определению). Действительно, если они не существуют, то пути $p$ тоже не может существовать, так как добраться, например, от вершины $i$ до $k$ по вершинам из множества $\left \{ 1, 2, \dots, k \right \}$ невозможно. Но этого быть не может по тому, как мы определили путь $p$.
 
Во время работы алгоритма будут просмотрены все возможные разбиения на соответствующие пути для каждой пары вершин и, при возможности, будет построен путь. По его окончании транзитивное замыкание будет построено корректно.
 
Во время работы алгоритма будут просмотрены все возможные разбиения на соответствующие пути для каждой пары вершин и, при возможности, будет построен путь. По его окончании транзитивное замыкание будет построено корректно.
 
</wikitex>
 
</wikitex>

Версия 11:33, 12 декабря 2011

Задача

Пусть дано отношение [math]R[/math] на множестве [math]X[/math]. Необходимо построить его транзитивное замыкание [math]T = \mathrm{TrCl}(R)[/math].

Алгоритм

Сформулируем нашу задачу в терминах графов: рассмотрим граф [math]G=(V,\; E),\; |V| = n[/math], соответствующий отношению [math]R[/math]. Тогда необходимо найти все пары вершин [math](x, y) [/math], соединенных некоторым путем. Иными словами, требуется построить новое отношение [math]T[/math], которое будет состоять из всех пар [math](x, y) [/math] таких, что найдется последовательность [math]x = x_0, x_1, \dots, x_k = y [/math], где [math] (x_{i-1}, x_i) \in R, i = 1, 2, \dots, k [/math].

Псевдокод

Изначально матрица [math]W[/math] заполняется соответственно отношению [math]R[/math], то есть [math]W[i][j] = [(i, j) \in R] [/math]. Затем внешним циклом перебираются все элементы [math]k[/math] множества [math]X[/math] и для каждого из них, если он может использоваться, как промежуточный для соединения двух элементов [math]i[/math] и [math]j[/math], отношение [math]T[/math] расширяется добавлением в него пары [math](i, j)[/math].

for k = 1 to n
  for i = 1 to n
    for j = 1 to n
      W[i][j] = W[i][j] or (W[i][k] and W[k][j])

Доказательство

<wikitex>Назовем промежуточной вершину некоторого пути $p = \left \langle v_0, v_1, \dots, v_k \right \rangle$, принадлежащую множеству вершин этого пути и отличающуюся от начальной и конечной вершин, то есть принадлежащую $\left \{ v_1, v_2, \dots, v_{k-1} \right \}$. Рассмотрим произвольную пару вершин $i, j \in V$ и все пути между ними, промежуточные вершины которых принадлежат множеству вершин с номерами $\left \{ 1, 2, \dots, k \right \}$. Пусть $p$ - некоторый из них. Рассмотрим случаи:

  • $k$ не является промежуточной вершиной пути $p$. Тогда все его промежуточные пути принадлежат множеству вершин с номерами $\left \{ 1, 2, \dots, k-1 \right \} \subset \left \{ 1, 2, \dots, k \right \}$, то есть существует путь с промежуточными вершинами в исходном множестве.
  • $k$ является промежуточной вершиной пути $p$. Тогда этот путь можно разбить на два пути: $i \xrightarrow{p_1} k \xrightarrow{p_2} j$. Как $p_1$, так и $p_2$ существуют и содержат в качестве промежуточных вершины из множества $\left \{ 1, 2, \dots, k-1 \right \} \subset \left \{ 1, 2, \dots, k \right \}$ (так как вершина $k$ - либо конечная, либо начальная, то она не может быть в множестве по нашему определению). Действительно, если они не существуют, то пути $p$ тоже не может существовать, так как добраться, например, от вершины $i$ до $k$ по вершинам из множества $\left \{ 1, 2, \dots, k \right \}$ невозможно. Но этого быть не может по тому, как мы определили путь $p$.

Во время работы алгоритма будут просмотрены все возможные разбиения на соответствующие пути для каждой пары вершин и, при возможности, будет построен путь. По его окончании транзитивное замыкание будет построено корректно. </wikitex>

Сложность алгоритма

Три вложенных цикла работают за время [math]\sum\limits_{n}\sum\limits_{n}\sum\limits_{n}O(1) = O(n^3)[/math], то есть алгоритм имеет кубическую сложность.

Ссылки

Источники

  • Романовский И. В. Дискретный анализ: Учебное пособие для студентов, специализирующихся по прикладной математике и информатике. Изд. 3-е. — СПб.: Невский диалект, 2003. — 320 с. — ISBN 5-7940-0114-3.