33
правки
Изменения
Нет описания правки
'''Теорема Карпа-Липтона'''
Если <math>NP \subset P/poly</math> то <math>\Sigma_2=\Pi_2</math>
== Доказательство ==
'''Что такое Cn <tex>C_n</tex> Решает <tex>SAT</tex>?'''
Запишем это используя квантор "<tex>\forall{}</tex>".
\vee{}</tex>
<tex>(C_{|\varphi{}|}(\varphi{})=1 \Rightarrow \varphi{}|_{x_1=0} \in SAT или \varphi{}|_{x_1=1} \in SAT)</tex>
Если <tex>C</tex> решает <tex>SAT</tex> то все хорошо. Если нет, то зафиксируем формулу <tex>\varphi{}_0</tex>, которую он не решает. Если на этой формуле выдаст 0, а должна выдать 1, то получается что не удовлетворяет первую часть предыдущего выражения и, значит, не будет работать. Если наоборот выдаст 1 а на самом деле формула не удавлетворима то обе скобки не выполнятся и опять формула работать не будет.
Рассмотрим минимальную неправильную схему. Тогда на той формуле, на которой эта схема неправильна, по предположению, что все более короткие формулы правильны,эта формула распознается схемами с меньшим числом входов. Поэтому обе скобки будут 0 и мы не узнаем набор схем. Развернем формулу до конца.
<tex> \forall{\varphi{}}: |\varphi{}|=m \forall{x_1}..\forall{x_m} если </tex><tex> C_m(\varphi{})=0 \Rightarrow \varphi{(x_1)}=0 </tex> иначе <tex> C_{m-1}(\varphi|_{x_1=0})=0 \Rightarrow \varphi|_{x_1=0}(x_2)=0</tex>
<tex>C_{m-1}(\varphi{}|_{x_1=1})=0 \Rightarrow \varphi{}|_{x_1=0}(x_2)=0</tex>
<tex>C_{m-1}(\varphi{}|{x_1=0}) \vee{} C_{m-1}(\varphi{}|_{x_1=1})</tex>
Далее рекурсивно записываем ту же самую формулу от того из них, которое равно 1.
Получаем что <math>L\in \Sigma_2</math>
Теорема доказана
