Перечислимые языки

Определение:

Полуразрешимый язык [math]-[/math] язык, для которого существует программа [math]p[/math] такая, что [math]\forall x \in L \Leftrightarrow p(x)=1[/math].

Определение:

Перечислимый язык [math]-[/math] язык, для которого существует программа [math]g[/math] такая, что [math]g(i) = x_i, L = \{x_1, x_2, .., x_n, ..\}[/math].

Определение:

Пусть имеется некоторая программа [math]p[/math], которая может либо завершиться за конечное время и что-то вернуть, либо зависнуть. Тогда запуск программы [math]p[/math] с тайм-лимитом [math]TL[/math] будем обозначать как [math]p|_{TL}[/math] и иметь в виду следующее: если за [math]TL[/math] операций программа [math]p[/math] корректно завершилась и что-то вернула, то [math]p|_{TL}[/math] вернет то же самое; если же за [math]TL[/math] операций программа [math]p[/math] не успела завершиться, то [math]p|_{TL}[/math] вернет [math]\bot[/math] (специально зарезервированное значение).

Теорема:

[math]L-[/math] перечислимый [math]\Leftrightarrow L-[/math] полуразрешимый.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]L-[/math] перечислимый. [math]p(x):[/math] [math]for ~ i = 1 ~ .. ~ \infty[/math] [math]if ~ g(i) = x[/math] [math]return ~ 1[/math] Пусть [math]L-[/math] полуразрешимый. [math]g_0(i):[/math] [math]cnt = 0[/math] [math]for ~ k = 1 ~ .. ~ \infty[/math] [math]for ~ x \in \{x_1, x_2, .., x_k\}[/math] [math]if ~ p|_k(i) = 1[/math] [math]cnt++[/math] [math]if ~ cnt = i[/math] [math]return ~ x[/math] [math]g(i):[/math] [math]U = \emptyset[/math] [math]for ~ j = 1 ~ .. ~ \infty[/math] [math]x \leftarrow g_0(j)[/math] [math]if ~ x \notin U[/math] [math]cnt++[/math] [math]if ~ cnt = i[/math] [math]return ~ x[/math] [math]U.insert(x)[/math] Приведённые программы доказывают эквивалентность определений.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Любой разрешимый язык [math]L[/math] является перечислимым.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Любой разрешимый язык [math]L[/math] является полуразрешимым. А так как любой полуразрешимый язык является перечислимым, то разрешимый язык [math]L[/math] является перечислимым.

[math]\triangleleft[/math]