Независимые случайные величины — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (Определение: мелкие правки)
м (Определение)
Строка 4: Строка 4:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|id=def1
 
|id=def1
|definition='''Независимые случайные величины''' - <tex> \xi</tex> и <tex>\eta</tex> называются независимыми, если <tex>\forall \alpha ,\beta \in \mathbb R</tex> события <tex>[ \xi \leqslant \alpha ]</tex> и <tex>[ \eta \leqslant \beta ]</tex> независимы.<br> <tex>P((\xi \leqslant \alpha) \bigcup (\eta \leqslant \beta)) = P(\xi \leqslant \alpha)·P(\eta \leqslant \beta)</tex>
+
|definition='''Независимые случайные величины''' - <tex> \xi</tex> и <tex>\eta</tex> называются независимыми, если <tex>\forall \alpha ,\beta \in \mathbb R</tex> события <tex>[ \xi \leqslant \alpha ]</tex> и <tex>[ \eta \leqslant \beta ]</tex> независимы.<br> <tex>P((\xi \leqslant \alpha) \bigcap (\eta \leqslant \beta)) = P(\xi \leqslant \alpha)·P(\eta \leqslant \beta)</tex>
 
}}
 
}}
 
Иначе говоря, две случайные величины называются независимыми, если значение одной из них не влияет на значение другой.
 
Иначе говоря, две случайные величины называются независимыми, если значение одной из них не влияет на значение другой.

Версия 14:41, 18 декабря 2011

Эта статья находится в разработке!

Определение

Определение:
Независимые случайные величины - [math] \xi[/math] и [math]\eta[/math] называются независимыми, если [math]\forall \alpha ,\beta \in \mathbb R[/math] события [math][ \xi \leqslant \alpha ][/math] и [math][ \eta \leqslant \beta ][/math] независимы.
[math]P((\xi \leqslant \alpha) \bigcap (\eta \leqslant \beta)) = P(\xi \leqslant \alpha)·P(\eta \leqslant \beta)[/math]

Иначе говоря, две случайные величины называются независимыми, если значение одной из них не влияет на значение другой.

Дискретные случайные величины

Определение:
Случайные величины [math]\xi_1,...,\xi_n[/math] с дискретным распределением независимы (в совокупности), если для [math]\forall a_1,...,a_n[/math] имеет место равенство:
[math]P(\xi_1=a_1,...,\xi_n=a_n)=P(\xi_1=a_1)·...·P(\xi_n=a_n)[/math]

Стоит отметить, что если [math]\xi[/math] и [math]\eta[/math] - дискретные случайные величины, то достаточно рассматривать случай [math]\xi = \alpha[/math], [math]\eta = \beta[/math].

Примеры

Честная игральная кость

Рассмотрим вероятностное пространство честная игральная кость

[math]\Omega = \mathcal {f} 1, 2, 3, 4, 5, 6 \mathcal {g}[/math].
[math]\xi[/math] и [math]\eta[/math] - случайные величины.
[math]\xi (i) = i \% 2[/math], [math]\eta (i) = [i \geqslant 3][/math].

Для того, чтобы показать, что они независимы, надо рассмотреть все [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math].

Для примера рассмотрим: [math]\alpha = 0[/math], [math]\beta = 0[/math].

Тогда [math]P( \xi \leqslant 0) = \frac{1}{2}[/math], [math]P( \eta \leqslant 0) = \frac{2}{3}[/math], [math]P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 0)) = \frac{1}{3}[/math].

Аналогичным образом можно проверить, что для оставшихся значений [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math] события также являются независимыми, а это значит, что случайные величины [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math] независимы.

Тетраедер

[math]\Omega = \mathcal {f} 0, 1, 2, 3 \mathcal {g}[/math]. 
[math]\xi[/math] и [math]\eta[/math] - случайные величины. 
[math]\xi (x) = i \% 2[/math], [math]\eta(x) = \left \lfloor \frac{x}{2} \right \rfloor[/math]

Рассмотрим случай: [math]\alpha = 0[/math], [math]\beta = 0[/math].

[math]P(\xi \leqslant 0) = \frac{1}{2}[/math], [math]P(\eta \leqslant 1) = 1[/math]
[math]P(\xi \leqslant 0[/math] и [math]\eta \leqslant 1) = \frac{1}{2}[/math]

Для этих значений события являются независимыми, как и для других значений [math]\xi[/math] и [math]\eta[/math] (рассматривается аналогично), поэтому эти случайные величины независимы.

Заметим, что если:

[math]\xi (x) = i \% 3[/math], [math]\eta(x) = \left \lfloor \frac{x}{3} \right \rfloor[/math]

То эти величины зависимы, т.к. [math]\eta(3) = 1[/math], и в этом случае, мы можем однозначно определить значение [math]\xi[/math]

См. также

Дискретная случайная величина

Литература и источники информации

Независимость случайных величин

Википедия: Независимость (теория вероятностей)