Матричное представление перестановок

Определение

Определение:

Матрица перестановки — квадратная бинарная матрица, в каждой строке и в каждом столбце которой находится лишь одна единица.

Определение:

Если матрица перестановок [math]P[/math] получена из единичной матрицы [math]E[/math] перестановкой местами двух строк (или двух столбцов), то такая матрица называется элементарной матрицей перестановок.

Каждая матрица перестановки размера [math]n \times n[/math] является матричным представлением перестановки порядка [math]n[/math].

Пусть дана перестановка [math]\sigma[/math] порядка [math]n[/math]:

[math]\begin{pmatrix} 1 && 2&& \ldots && n\\ \sigma(1)&& \sigma(2) && \ldots && \sigma(n) \end{pmatrix}[/math]

Соответствующей матрицей перестановки является матрица [math]n \times n[/math] вида:

[math]P_\sigma = \begin{pmatrix} \mathbf{e}_{\sigma(1)}\\ \mathbf{e}_{\sigma(2)}\\ \vdots \\ \mathbf{e}_{\sigma(n)} \end{pmatrix}[/math], где [math]\mathbf{e}_{i}[/math] — двоичный вектор длины [math]n[/math], [math]i[/math]-й элемент которого равен единице, а остальные равны нулю.

Пример

Перестановка:

[math]\pi = \begin{pmatrix} 1 && 2 && 3\\ 1 && 3 && 2 \end{pmatrix}[/math]

Соответствующая матрица:

[math]P = \begin{pmatrix} 1 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 1 \\ 0 && 1 && 0 \\ \end{pmatrix}[/math]

Свойства

• Для любых двух перестановок [math]\sigma, \pi[/math] их матрицы обладают свойством:

  [math]P_\sigma P_\pi = P_{\sigma \circ \pi}[/math] , где [math]\circ[/math] - операция умножения двух перестановок

• Для любой матрицы перестановок существует обратная:

  [math]P_\sigma^{-1} = P_\sigma^T[/math] , где [math]P^T[/math] - транспонированная матрица [math]P[/math]

• Для любой матрицы перестановок [math]P[/math] справедливо:

  [math]P^T P = P P^T = E[/math] , где [math]E[/math] - единичная матрица

• Произведение матриц перестановок одного и того же порядка есть матрица перестановок
• Матрица перестановок [math]n[/math]-го порядка может быть представлена в виде произведения [math](n - 1)[/math] элементарных матриц перестановок
• Квадрат элементарной матрицы перестановок есть единичная матрица
• Умножение произвольной матрицы [math]M[/math] на перестановочную соответственно меняет местами её столбцы.
• Умножение перестановочной матрицы на произвольную [math]M[/math] меняет местами строки в [math]M[/math].

Применение

Благодаря последним свойствам, матрицам перестановок нашлось применение в линейной алгебре:

пусть задана матрица перестановки [math]P = \begin{pmatrix} 1 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 1 \\ 0 && 1 && 0 \\ \end{pmatrix}[/math], которая соответствует перестановке [math]\pi = \begin{pmatrix} 1 && 2 && 3 \\ 1 && 3 && 2 \end{pmatrix}[/math], и матрица [math]A = \begin{pmatrix} 1 && 2 && 3 \\ 4 && 5 && 6 \\ 7 && 8 && 9 \\ \end{pmatrix}[/math],

тогда перемножив получим:

• [math]PA = \begin{pmatrix} 1 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 1 \\ 0 && 1 && 0 \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 && 2 && 3 \\ 4 && 5 && 6 \\ 7 && 8 && 9 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 && 2 && 3 \\ 7 && 8 && 9 \\ 4 && 5 && 6 \\ \end{pmatrix}[/math],

видно, что вторая и третья строки поменялись местами;

• [math]AP = \begin{pmatrix} 1 && 2 && 3 \\ 4 && 5 && 6 \\ 7 && 8 && 9 \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 1 \\ 0 && 1 && 0 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 && 3 && 2 \\ 4 && 6 && 5 \\ 7 && 9 && 8 \\ \end{pmatrix}[/math],

видно, что второй и третий столбец поменялись местами.

Ссылки

• Матрица перестановки — Википедия
• Матрица перестановки