Периодическое состояние

Периоди́ческое состоя́ние — это такое состояние цепи Маркова, которое навещается цепью только через промежутки времени, кратные фиксированному числу.

Период состояния

Пусть дана однородная цепь Маркова с дискретным временем [math]\{X_n\}_{n \ge 0}[/math] с матрицей переходных вероятностей [math]P[/math]. В частности, для любого [math]n \in \mathbb{N}[/math], матрица [math]P^n = \left(p_{ij}^{(n)} \right)[/math] является матрицей переходных вероятностей за [math]n[/math] шагов. Рассмотрим последовательность [math] p^{(n)}_{jj},\, n \in \mathbb{N}[/math]. Число

[math]d(j) = \gcd \left(n \in \mathbb{N} \mid p_{jj}^{(n)} \gt 0 \right)[/math],

где [math]\gcd[/math] обозначает наибольший общий делитель, называется пери́одом состояния [math]j[/math].

Замечание

Таким образом, период состояния [math]j[/math] равен [math]d(j)[/math], если из того, что [math]p_{jj}^{(n)}\gt 0[/math], следует, что [math]n[/math] делится на [math]d(j)[/math].

Периодические состояния и цепи

• Если [math]d(j) \gt 1 [/math], то состояние [math]j[/math] называется периоди́ческим. Если [math]d(j) = 1[/math], то состояние [math]j[/math] называется апериоди́ческим.

• Периоды сообщающихся состояний совпадают:

[math]( i \leftrightarrow j ) \Rightarrow ( d(i) = d(j) )[/math].

Таким образом период любого неразложимого класса цепи Маркова определён и равен периоду любого своего представителя. Соответственно, классы делятся на периодические и апериодические.

• Если цепь Маркова неразложима, то периоды всех её состояний совпадают и принимаемое ими общее значение называется периодом цепи. Цепь называется периодической, если её период больше единицы, и апериодической в противном случае.