Определение интеграла Лебега

Эта статья находится в разработке!

TODO: ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ

Есть [math]\langle X, \mathcal{A}, \mu \rangle[/math]. Далее, мы всегда предполагаем, что [math]\mu[/math] — [math]\sigma[/math]-конечная и полная.

Пусть [math]E[/math] — измеримое множество ([math]E \in \mathcal{A}[/math]).

[math]f : E \to \mathbb{R}[/math], [math]\forall x \in E : |f(x)| \leq M[/math], [math]\mu E \lt +\infty[/math].

Разобьём [math]E[/math] на конечное число попарно дизъюнктных измеримых частей.

[math]E = \bigcup\limits_{p=1}^\infty e_p[/math] — дизъюнктные и измеримые. [math]\tau = \{e_1; e_2; \ldots e_n\}[/math] — разбиение

Утверждение:

[math]\exists[/math] хотя бы одно разбиение

[math]\triangleright[/math]

Вот оно! [math]\tau = \{E\}[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Системы чисел [math]m_p(f) = m_p = \inf\limits_{x \in e_p} f(x)[/math], [math]M_p(f) = M_p = \sup\limits_{x\in e_p} f(x)[/math] — конечны

Определение:

Верхняя и нижняя суммы Лебега-Дарбу — [math]\underline{s}(\tau) = \sum\limits_{p=1}^n m_p \mu e_p[/math], [math]\overline{s}(\tau) = \sum\limits_{p=1}^n M_p \mu e_p[/math]. Они аналогичны суммам Дарбу для интеграла Римана.

Определение:

[math]\tau_1, \tau_2[/math] — разбиения. Если [math]\forall e \in \tau_1[/math] содержится в каком-то [math]e' \in \tau_2[/math], то [math]\tau_1[/math] мельче [math]\tau_2[/math], [math]\tau_1 \leq \tau_2[/math].

Лемма:

1. [math]\underline{s}(\tau) \leq \overline{s}(\tau)[/math] 2. [math]\tau_1 \leq \tau_2 \Rightarrow \underline{s}(\tau_2) \leq \underline{s}(\tau_1)[/math], [math]\overline{s}(\tau_1) \leq \overline{s}(\tau_2)[/math] 3. [math]\forall \tau_1, \tau_2 : \underline{s}(\tau_1) \leq \overline{s}(\tau_2)[/math]

На базе этой леммы вы видим: [math]\underline{L} = \sup\limits_{\tau} \underline{s}(\tau)[/math], [math]\overline{L} = \inf\limits_{\tau} \overline{s}(\tau)[/math], то из леммы следует: [math]\underline{s}(\tau) \leq \underline{L} \leq \overline{L} \leq \overline{s}(\tau)[/math].

Определение:

Если [math]\underline{L} = \overline{L}[/math], то [math]f[/math] — интегрируемая по Лебегу на [math]E[/math], общее значение этих чисел — интеграл Лебега, [math]\underline{L}=\overline{L} = \int\limits_E f d\mu[/math].

Теорема:

Пусть [math]f[/math]— измерима и ограничена на [math]E[/math], [math]\mu E \lt +\infty[/math]. Тогда [math]f[/math]— интегрируемая по Лебегу на [math]E[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]f[/math] — ограничена [math]\Rightarrow[/math] [math]\exists M \gt 0 \forall x : |f(x)| \lt M [/math]. Разобьём [math][-M; M][/math] на [math]n[/math] равных частей. [math]y_k = -M + \frac{2M}nk[/math], [math]k = 0..n[/math] [math]e_k = E(y_k \leq f(x) \leq y_{k+1})[/math]. В силу измеримости [math]f[/math] — это измеримое множество, так как, [math]-M \leq f(x)\leq M[/math], [math]E = \bigcap\limits_{k=0}^{n-1} E_k[/math], все дизъюнктны. Итак, мы получили разбиение [math]E[/math] [math]m_k = \inf\limits_{x\in e_k}f(x) \gt y_k[/math], [math]M_k = \sup\limits_{x \in e_k}f(x) \leq y_{k+1}[/math] [math]\mu e_k \geq 0[/math]. [math]\sum\limits_{k=0}^{n-1}y_k \mu e_k \leq \underline{s}(\tau) \leq \underline{L} \leq \overline{L} \leq overline{s}(\tau) \leq \sum\limits_{k=0}^{n-1}y_{k+1}\mu e_k[/math] [math]0 \leq \overline{L} - \underline{L} \leq \sum\limits_{k=0}^{n-1}(y_{k+1} - y_k) \mu e_k = \frac{2M}n \sum\limits_{k=0}^{n-1}\mu e_k = \frac{2M}n\mu E[/math] [math]0 \leq \overline{L} - \underline{L} \leq \frac{2M}n \mu E[/math] [math]n[/math] — произвольное, натуральное. Устремляем к бесконечности.

[math]\triangleleft[/math]

Замечание. На самом деле, можно доказать и обратное. Факт существования интеграла Лебега функции необходимо влечёт её измеримость.