403
правки
Изменения
м
Новая страница: «{{В разработке}} {{TODO|t=ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕК...»
{{В разработке}}
{{TODO|t=ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ}}
Далее, для краткости, «определённый интеграл Лебега» = «интеграл Лебега от ограниченной измеримой функции по множеству конечной меры»
<tex>m \leq f(x) \leq M</tex>, то, так как <tex>\mu e \leq 0</tex>, <tex>\mu E = \sum\limits_{i=1}^n \mu e_i \Rightarrow m\mu E \leq \underline{s}(\tau) \leq \underline{L} \leq \overline{L} \leq \overline{s}(\tau) \leq M\mu E</tex>
То есть, <tex>m \mu E \leq \int\limits_{E} f(x) d\mu \leq M \mu E</tex>
<tex>f(x) = c \Rightarrow \underline{s} = \overline{s} = c\mu E</tex>
Интеграл от постоянной {{---}} <tex>\int\limits_E cd\mu = c\mu E</tex>
{{Утверждение
|statement=Интеграл неотрицательной функции неотрицателен
}}
== Сигма-аддитивность ==
{{Теорема
|about=<tex>\sigma</tex>-аддитивность интеграла
|statement=<tex>\exists \int\limits_E fd\mu</tex>, <tex>E = \bigcap\limits_n E_n</tex> {{---}} измеримы и дизъюнктны
|proof=
1)
<tex>E = \bigcap\limits_{n=1}^p e_n</tex>
Ясно, что, в силу индукции достаточно рассмотреть <tex>p=2</tex>: <tex>\int\limits_E fd\mu = \int\limits_{E_1}fd\mu+\int\limits_{E_2}fd\mu</tex>
Раз <tex>\exists \int\limits_E fd\mu</tex>, то <tex>f</tex> {{---}} измерима на <tex>E</tex> и ограничена там.
Значит, она будет такой же на частях <tex>E_1</tex> и <tex>E_2</tex>, поэтому, все интегралы существуют.
В силу определения интеграла, <tex>\forall\varepsilon\ \exists\tau_i</tex> {{---}} разбиение <tex>E_i</tex>.
<tex>\int\limits_{E_1}fd\mu -\varepsilon < \underline{s}(\tau_1) \Rightarrow \int\limits_{E_1} + \int\limits_{E_2} - 2\varepsilon < \underline{s}(\tau_1) + \underline{s}(\tau_2)</tex>
Но <tex>\tau = \tau_1 \cup \tau_2</tex> {{---}} разбиение <tex>E</tex>. Значит, <tex>\int\limits_{E_1} + \int\limits_{E_2} - 2\varepsilon \leq \underline{s}(\tau) \leq \int\limits_E</tex>.
<tex>\varepsilon \to 0</tex> {{---}} почти победа. Получили, что <tex>\int\limits_{E_1} + \int\limits_{E_2} \leq \int\limits_E</tex>.
Обратное неравенство доказываем аналогично. Случай конечной суммы рассмотрен.
2) <tex>E = \bigcup\limits_n E_n = \bigcup\limits_{n=1}^p + B_p</tex>, <tex>B_p = \bigcup\limits_{n=p+1}^\infty E_n</tex>
Теперь <tex>E</tex> разбито на конечное число дизъюнктных частей.
<tex>\int\limits_E= \sum\limits_{n=1}^p\int\limits_{E_n} + \int\limits_{B_p}</tex>
<tex>|f(x)| \leq M \Rightarrow |\int\limits_{B_p}| \leq M\mu B_p</tex>
Так как <tex>\mu E < +\infty</tex>, <tex>\mu E = \sum\limits_{n=1}^p \mu E_n + \mu B_p</tex>, по <tex>\sigma</tex>-аддитивности.
<tex>\mu E = \sum\limits_{n=1}^\infty E_n</tex>
Так как остаток сходящегося числового ряда стремится к нулю, <tex>\mu B_p \to 0</tex>
Тогда, так как <tex>\left|\int\limits_{B_p}\right| \leq \mu B_p \cdot M</tex>, <tex>\int\limits_{B_p} \xrightarrow[p\to 0]{} 0</tex>
Тогда, при <tex>p\to\infty</tex>, <tex>\int\limits_{E} = \sum\limits_{n=1}^p + \int\limits_{B_p}</tex>. В пределе {{---}} нужная функция.
}}
В частности, из этой теоремы уже можно перейти к следующему факту:
{{Утверждение
|statement=Пусть <tex>\exists\int\limits_E f(x)d\mu, \int\limits_E g(x)d\mu</tex>, <tex>\mu E(f\ne g) = 0</tex>. Тогда <tex>\int\limits_E fd\mu = \int\limits_E gd\mu</tex>
|proof=Действительно, <tex>E_1 = E(f \ne g)</tex> {{---}} измеримо, так как <tex>f</tex> и <tex>g</tex> {{---}} измеримы.
<tex>E(f\ne g) = \bigcup\limits_{n=1}^\infty (|f-g|\leq \frac1n)</tex> {{---}} счётное объединение измеримых множеств.
<tex>E_2 = E \setminus E_1</tex>. <tex>E</tex> разбито на две дизъюнктных части.
<tex>\int\limits_E fd\mu = \int\limits_{E_1} fd\mu + \int\limits_{E_2}fd\mu</tex>, <tex>\mu E_1 = 0 \Rightarrow \int\limits_{E_1} fd\mu = \int\limits_{E_1} gd\mu = 0 </tex>
Тогда, <tex>\int\limits_E fd\mu = \int\limits_{E_2} fd\mu = \int\limits_{E_1}gd\mu [=0] + \int\limits_{E_2}fd\mu = \int\limits_{E_1}gd\mu + \int\limits_{E_2}gd\mu [\forall x \in E_2 : f(x) = g(x)] = \int\limits_E gd\mu</tex>
}}
Если вернуться к <tex>f = \begin{cases}0, & x \in \mathbb{Q}\\1, & x \notin \mathbb{Q}\end{cases}</tex> и <tex>g = 1</tex>, <tex>\lambda\mathbb{Q} = 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\lambda E(f\ne g) = 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\int\limits_{[0;1]} fd\mu = \int\limits_{0;1}1d\mu = 1</tex>
== Линейность ==
Теперь установим так называемую линейность интеграла
{{Утверждение
|statement=Пусть <tex>\exists\int f, \int g</tex>, <tex>\alpha, \beta \in \mathbb{R}</tex>. Тогда <tex>\alpha\int\limits_E fd\mu + \beta\int\limits_E gd\mu = \int\limits_E(\alpha f + \beta g)d\mu</tex>
|proof=Установим, что интеграл суммы равен сумме интегралов. То, что можно выносить множитель {{---}} аналогично.
<tex>\int\limits_E f+g = \int\limits_E f + \int\limits_E g </tex>. Интеграл существует, нужно только доказать, что его значение именно такое.
<tex>E = \bigcup\limits_{j=1}^p e_j</tex>, <tex>m_j(f) = \inf\limits_{e_j} f</tex>
<tex>m_j(f) + m_j(g) \leq f(x) + g(x) \leq M_j(f) + M_j(g)</tex>
<tex>m_j(f) + m_j(g) \leq m_j(f + g) \leq M_j(f + g) \leq M_j(f) + \leq M_j(g)</tex>
Суммируем по <tex>i</tex>
<tex>\underline{s}(f) + \underline{s}(g) \leq \underline{s}(f+g) \leq \int\limits_Ef+g \leq \overline{s}(f+g) \leq overline{s}f + \overline{s}g</tex>
<tex>\underline{s}(f) + \underline{s}(g) \leq \int\limits_Ef+\int\limits_Eg</tex>, <tex>\int\limits_E(f+g)\leq \overline{s}(f) + \overline{s}(g)</tex>
В силу определения интеграла от измеримой функции, <tex>\forall\varepsilon > 0 \exists \tau : \overline{s}(\tau, f) - \underline{s}(\tau, f)< \varepsilon</tex>
<tex>\forall\varepsilon>0\ \exists \tau_1 : \overline{s}(\tau_1, f) - \underline{s}(\tau_1, f) < \varepsilon</tex>
<tex>\forall\varepsilon>0\ \exists \tau_2 : \overline{s}(\tau_2, g) - \underline{s}(\tau_2, g) < \varepsilon</tex>
<tex>\exists\tau_3 : \tau_3 < \tau_2 , \tau_3 < \tau_1\</tex>
Подставим <tex>\tau_3</tex>.
<tex>\overline{s}(f, \tau_3) - \underline{s}(f, \tau_3) < \varepsilon</tex>
<tex>\overline{s}(g, \tau_3) - \underline{s}(g, \tau_3) < \varepsilon</tex>
Тогда крайние величины отличаются не более, чем на <tex>2\varepsilon</tex>. Так как <tex>\varepsilon</tex> {{---}} произвольное, числа должны совпасть.
}}
{{TODO|t=ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ}}
Далее, для краткости, «определённый интеграл Лебега» = «интеграл Лебега от ограниченной измеримой функции по множеству конечной меры»
<tex>m \leq f(x) \leq M</tex>, то, так как <tex>\mu e \leq 0</tex>, <tex>\mu E = \sum\limits_{i=1}^n \mu e_i \Rightarrow m\mu E \leq \underline{s}(\tau) \leq \underline{L} \leq \overline{L} \leq \overline{s}(\tau) \leq M\mu E</tex>
То есть, <tex>m \mu E \leq \int\limits_{E} f(x) d\mu \leq M \mu E</tex>
<tex>f(x) = c \Rightarrow \underline{s} = \overline{s} = c\mu E</tex>
Интеграл от постоянной {{---}} <tex>\int\limits_E cd\mu = c\mu E</tex>
{{Утверждение
|statement=Интеграл неотрицательной функции неотрицателен
}}
== Сигма-аддитивность ==
{{Теорема
|about=<tex>\sigma</tex>-аддитивность интеграла
|statement=<tex>\exists \int\limits_E fd\mu</tex>, <tex>E = \bigcap\limits_n E_n</tex> {{---}} измеримы и дизъюнктны
|proof=
1)
<tex>E = \bigcap\limits_{n=1}^p e_n</tex>
Ясно, что, в силу индукции достаточно рассмотреть <tex>p=2</tex>: <tex>\int\limits_E fd\mu = \int\limits_{E_1}fd\mu+\int\limits_{E_2}fd\mu</tex>
Раз <tex>\exists \int\limits_E fd\mu</tex>, то <tex>f</tex> {{---}} измерима на <tex>E</tex> и ограничена там.
Значит, она будет такой же на частях <tex>E_1</tex> и <tex>E_2</tex>, поэтому, все интегралы существуют.
В силу определения интеграла, <tex>\forall\varepsilon\ \exists\tau_i</tex> {{---}} разбиение <tex>E_i</tex>.
<tex>\int\limits_{E_1}fd\mu -\varepsilon < \underline{s}(\tau_1) \Rightarrow \int\limits_{E_1} + \int\limits_{E_2} - 2\varepsilon < \underline{s}(\tau_1) + \underline{s}(\tau_2)</tex>
Но <tex>\tau = \tau_1 \cup \tau_2</tex> {{---}} разбиение <tex>E</tex>. Значит, <tex>\int\limits_{E_1} + \int\limits_{E_2} - 2\varepsilon \leq \underline{s}(\tau) \leq \int\limits_E</tex>.
<tex>\varepsilon \to 0</tex> {{---}} почти победа. Получили, что <tex>\int\limits_{E_1} + \int\limits_{E_2} \leq \int\limits_E</tex>.
Обратное неравенство доказываем аналогично. Случай конечной суммы рассмотрен.
2) <tex>E = \bigcup\limits_n E_n = \bigcup\limits_{n=1}^p + B_p</tex>, <tex>B_p = \bigcup\limits_{n=p+1}^\infty E_n</tex>
Теперь <tex>E</tex> разбито на конечное число дизъюнктных частей.
<tex>\int\limits_E= \sum\limits_{n=1}^p\int\limits_{E_n} + \int\limits_{B_p}</tex>
<tex>|f(x)| \leq M \Rightarrow |\int\limits_{B_p}| \leq M\mu B_p</tex>
Так как <tex>\mu E < +\infty</tex>, <tex>\mu E = \sum\limits_{n=1}^p \mu E_n + \mu B_p</tex>, по <tex>\sigma</tex>-аддитивности.
<tex>\mu E = \sum\limits_{n=1}^\infty E_n</tex>
Так как остаток сходящегося числового ряда стремится к нулю, <tex>\mu B_p \to 0</tex>
Тогда, так как <tex>\left|\int\limits_{B_p}\right| \leq \mu B_p \cdot M</tex>, <tex>\int\limits_{B_p} \xrightarrow[p\to 0]{} 0</tex>
Тогда, при <tex>p\to\infty</tex>, <tex>\int\limits_{E} = \sum\limits_{n=1}^p + \int\limits_{B_p}</tex>. В пределе {{---}} нужная функция.
}}
В частности, из этой теоремы уже можно перейти к следующему факту:
{{Утверждение
|statement=Пусть <tex>\exists\int\limits_E f(x)d\mu, \int\limits_E g(x)d\mu</tex>, <tex>\mu E(f\ne g) = 0</tex>. Тогда <tex>\int\limits_E fd\mu = \int\limits_E gd\mu</tex>
|proof=Действительно, <tex>E_1 = E(f \ne g)</tex> {{---}} измеримо, так как <tex>f</tex> и <tex>g</tex> {{---}} измеримы.
<tex>E(f\ne g) = \bigcup\limits_{n=1}^\infty (|f-g|\leq \frac1n)</tex> {{---}} счётное объединение измеримых множеств.
<tex>E_2 = E \setminus E_1</tex>. <tex>E</tex> разбито на две дизъюнктных части.
<tex>\int\limits_E fd\mu = \int\limits_{E_1} fd\mu + \int\limits_{E_2}fd\mu</tex>, <tex>\mu E_1 = 0 \Rightarrow \int\limits_{E_1} fd\mu = \int\limits_{E_1} gd\mu = 0 </tex>
Тогда, <tex>\int\limits_E fd\mu = \int\limits_{E_2} fd\mu = \int\limits_{E_1}gd\mu [=0] + \int\limits_{E_2}fd\mu = \int\limits_{E_1}gd\mu + \int\limits_{E_2}gd\mu [\forall x \in E_2 : f(x) = g(x)] = \int\limits_E gd\mu</tex>
}}
Если вернуться к <tex>f = \begin{cases}0, & x \in \mathbb{Q}\\1, & x \notin \mathbb{Q}\end{cases}</tex> и <tex>g = 1</tex>, <tex>\lambda\mathbb{Q} = 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\lambda E(f\ne g) = 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\int\limits_{[0;1]} fd\mu = \int\limits_{0;1}1d\mu = 1</tex>
== Линейность ==
Теперь установим так называемую линейность интеграла
{{Утверждение
|statement=Пусть <tex>\exists\int f, \int g</tex>, <tex>\alpha, \beta \in \mathbb{R}</tex>. Тогда <tex>\alpha\int\limits_E fd\mu + \beta\int\limits_E gd\mu = \int\limits_E(\alpha f + \beta g)d\mu</tex>
|proof=Установим, что интеграл суммы равен сумме интегралов. То, что можно выносить множитель {{---}} аналогично.
<tex>\int\limits_E f+g = \int\limits_E f + \int\limits_E g </tex>. Интеграл существует, нужно только доказать, что его значение именно такое.
<tex>E = \bigcup\limits_{j=1}^p e_j</tex>, <tex>m_j(f) = \inf\limits_{e_j} f</tex>
<tex>m_j(f) + m_j(g) \leq f(x) + g(x) \leq M_j(f) + M_j(g)</tex>
<tex>m_j(f) + m_j(g) \leq m_j(f + g) \leq M_j(f + g) \leq M_j(f) + \leq M_j(g)</tex>
Суммируем по <tex>i</tex>
<tex>\underline{s}(f) + \underline{s}(g) \leq \underline{s}(f+g) \leq \int\limits_Ef+g \leq \overline{s}(f+g) \leq overline{s}f + \overline{s}g</tex>
<tex>\underline{s}(f) + \underline{s}(g) \leq \int\limits_Ef+\int\limits_Eg</tex>, <tex>\int\limits_E(f+g)\leq \overline{s}(f) + \overline{s}(g)</tex>
В силу определения интеграла от измеримой функции, <tex>\forall\varepsilon > 0 \exists \tau : \overline{s}(\tau, f) - \underline{s}(\tau, f)< \varepsilon</tex>
<tex>\forall\varepsilon>0\ \exists \tau_1 : \overline{s}(\tau_1, f) - \underline{s}(\tau_1, f) < \varepsilon</tex>
<tex>\forall\varepsilon>0\ \exists \tau_2 : \overline{s}(\tau_2, g) - \underline{s}(\tau_2, g) < \varepsilon</tex>
<tex>\exists\tau_3 : \tau_3 < \tau_2 , \tau_3 < \tau_1\</tex>
Подставим <tex>\tau_3</tex>.
<tex>\overline{s}(f, \tau_3) - \underline{s}(f, \tau_3) < \varepsilon</tex>
<tex>\overline{s}(g, \tau_3) - \underline{s}(g, \tau_3) < \varepsilon</tex>
Тогда крайние величины отличаются не более, чем на <tex>2\varepsilon</tex>. Так как <tex>\varepsilon</tex> {{---}} произвольное, числа должны совпасть.
}}
