Теорема о рекурсии

Теорема о рекурсии

Теорема (О рекурсии):

Пусть [math]U[/math] - универсальная функция, [math]h[/math] - всюду определенная вычислимая функция. Тогда найдется такое [math]n[/math], что [math]U_n=U_{h(n)}[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Начнем с доказательства леммы. Лемма: Пусть на натуральных числах задано отношение эквивалентности [math]\simeq[/math]. Тогда следущие два утверждения не могут быть выполнены одновременно: Пусть [math]f[/math] - вычислимая функция. Тогда существует всюду определенное вычислимое [math]\simeq[/math]-продолжение [math]g[/math] функции [math]f[/math], т.е. такая [math]g[/math] что [math]D(g)=N[/math] и [math]\forall x[/math] такого что [math]f(x) \ne \perp[/math] выполнено [math]f(x) \simeq g(x)[/math] Найдется такая всюду определенная вычислимая [math]h[/math] что [math]\forall n [/math] [math]h(n) \ne n[/math] Доказательство: [math]\triangleright[/math] Ололо [math]\triangleleft[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Источники

Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. -- М.: МЦНМО, 1999