Суммируемые функции произвольного знака

Пусть f измерима на множестве E.

Напомним:

\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n^+ - \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n^-

Интеграл распространяется так же:

[math] f_+(x) = \begin{cases} f(x), & f(x) \gt 0 \\ 0, & f(x) \le 0 \end{cases} [/math]

[math] f_-(x) = \begin{cases} 0, & f(x) \ge 0 \\ -f(x), & f(x) \le 0 \end{cases} [/math]

Из измеримости следует, что f_+ и f_- также измеримы. Также они неотрицательны.

f = f_+ - f_- |f| = f_+ + f_-

\int\limits_E f_+, \iny\limits_E f_- — определены в пределах f.

f суммируема на E, если на нём суммируемы f_+ и f_-

\int\limits_E f =(def) \int\limits_E f_+ - \int\limits_E f_-

Линейность: <tex> \int\limits_E |f| = \int\limits_E f_+ + \int\limits_E f_- |\int\limits_E f | \le \int\limits_E f_+ + \int\limits_E f_- = \int\limits_E |f|

f_{+-} \le |f|. f_{+-} — суммируема, так как суммируем модуль.

Получаем: если f — суммируема, то |f| — суммируема, то есть в теории Лебега нет условно сходящихся интегралов.

Пример: Интеграл Дирихле: \int\limits_0^{+ \infty} \frac{\sin x}{x} = \frac{\pi}2 — по Риману, но по Лебегу она не суммируема.

Так как \int\limits_E определен линейной формулой, то переносятся \sigma-аддитивность и линейность интеграла. Достаточно их написать для f_+, f_- и сложить.

Абсолютная непрерывность: Теорема — пусть f — суммируема на E. Тогда \forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0: \mu A < \delta, A \subset E \Rightarrow \left| \int\limits_A f \right| < \varepsilon

Док-во: \left| \int\limits_A f \right| \le \int\limits_A |f| \Rightarrow

Достаточно рассмотреть неотрицательные функции.

f — суммируема и неотрицательна. \int\limits_E f < + \infty.

\forall \varepsilon \exists хорошее e_{\varepsilon} : \int\limits_E f - \int\limits_{e_{\varepsilon}} f < \varepsilon

\overline{e_{\varepsilon}} = E \ {e_{\varepsilon}}

\int\limits_E = \int\limits_{e_{\varepsilon}} + \int\limits_{\overline{e_{\varepsilon}}}

\mu e_{\varepsilon} < + \infty, |f(x)| \le M_{\varepsilon}

\forall B \subset E, \mu B < \infty

B = B \cap E = B \ cap (\overline{e_{\varepsilon}} \ cup e_{\varepsilon}) = B_1 \cup B_2

\int\limits_B f = \int\limits_{B_1} f + \int\limits_{B_2} f \le TODO: ТУТ КАКОЙ-ТО ТРЕШ В КОНСПЕКТАХ

Итак \forall B \subset E, \mu B < + \infty:

\int\limits_B \le M_{\varepsilon} \mu B + \varepsilon. Потребуем, чтобы M_{\varepsilon} \mu B \le \varepsilon. Тогда \mu B \le \frac{\varepsilon}{M_{\varepsilon}} = \delta. Тогда получается, то для таких B \int\limits_B f \le 2 \varepsilon, если \mu B < \delta = \frac{\varepsilon}{M_{\varepsilon}}. Подставляем \frac{\varepsilon}2 = \varepsilon.