Изменения

|statement = <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] \in I_{j} \Leftrightarrow \alpha \Rightarrow^* a_{i+1}...a_{j}</tex> и <tex> \mathcal {9} \gamma </tex> и <tex> \delta</tex> такие, что <tex>S ' \Rightarrow^* \gamma A \delta</tex> и <tex> \gamma \Rightarrow^* a_1...a_{i}</tex>.

База: для любой ситуации из <tex>I_0</tex> <tex>\alpha \Rightarrow^* \varepsilon </tex> и <tex>S ' \Rightarrow^* \gamma A \delta </tex> при <tex>\gamma = \varepsilon </tex>.<br>

<b>1. Пусть включаем по правилу 41</b><br>Тогда <tex>\alpha = \alpha' a_{j} , [A \rightarrow \alpha' \cdot a_{j} \beta, i] \in I_{j-1}</tex>. По и.п. <tex>\alpha' \Rightarrow^* a_{i+1}...a_{j-1} </tex> и существуют <tex>\gamma'</tex> и <tex>\delta' </tex> такие, что <tex>S ' \Rightarrow^* \gamma' A \delta', \gamma' = a_1...a_{i} </tex>. Значит <tex> \alpha = \alpha' a_{j} \Rightarrow^* a_{i+1}...a_{j} </tex> и при <tex>\gamma = \gamma', \delta = \delta' </tex> для <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i]</tex> утверждение верно. <br><br><b>2. Пусть включаем по правилу 52</b><br>Тогда <tex>\alpha = \alpha' B , [A \rightarrow \alpha' \cdot B \beta, k] \in I_{i}</tex> и <tex> [B \rightarrow \eta \cdot, i] \in I_{j} </tex>. По и.п. <tex>\alpha' \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{i}, \eta \Rightarrow^* a_{i+1}...a_{j} </tex>, откуда <tex>\alpha = \alpha' B \Rightarrow^*a_{k+1}...a_{j} </tex>. Также по и.п. существуют <tex>\gamma'</tex> и <tex>\delta' </tex> такие, что <tex>S ' \Rightarrow^* \gamma' A \delta', \gamma' = a_1...a_{k} </tex>. Значит при <tex>\gamma = \gamma', \delta = \delta' </tex> для <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i]</tex> утверждение верно.<br><br><b>3. Пусть включаем по правилу 63</b><br>Тогда <tex>\alpha = \varepsilon, i = j, [B \rightarrow \alpha' \cdot A \beta, k] \in I_{j}</tex>. По и.п. <tex>\alpha' \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{i}</tex> и существуют <tex>\gamma'</tex> и <tex>\delta' </tex> такие, что <tex>S ' \Rightarrow^* \gamma' B \delta', \gamma' = \Rightarrow^* a_1...a_{k} </tex>. Значит при <tex>\gamma = \gamma' \alpha', \delta = \beta \delta' </tex> выполнено <tex> S ' \Rightarrow^* \gamma A \delta</tex>, значит для <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i]</tex> утверждение верно. <br>

Для всех наборов <tex>\tau = {\alpha, \beta, \gamma, \delta, A, i , j} </tex> нужно доказать, что если <tex> S ' \Rightarrow^* \gamma A \delta, \gamma \Rightarrow^* a_1...a_{i}, A \rightarrow \alpha \beta \in P, \alpha \Rightarrow^* a_{i+1}...a_{j}</tex>, то <tex> [A \rightarrow \alpha \cdot B \beta, i] \in I_{j}</tex>.<br>*<i>Рангом набора </i> <tex> \tau </tex> называется <tex> \tau_{1}(\tau) + 2(j + \tau_{2}(\tau) + \tau_{3}(\tau))</tex>, где <tex>\tau_{1}(\tau)</tex> — длина кратчайшего вывода <tex>S ' \Rightarrow^* \gamma A \delta </tex>, <tex>\tau_{2}(\tau)</tex> — длина кратчайшего вывода <tex>\gamma \Rightarrow^* a_1...a_{i}</tex>, <tex>\tau_{3}(\tau)</tex> — длина кратчайшего вывода <tex>\alpha \Rightarrow^* a_{i+1}...a_{j}</tex>.

База: если ранг <tex>\tau</tex> равен 0, то <tex>\tau_{1} = \tau_{2} = \tau_{3} = j = i = 0</tex>. Значит <tex>\alpha = \gamma = \delta = \varepsilon </tex>, <tex>A = S</tex>', следовательно <tex>(S \rightarrow \beta) \in P= S </tex>. Значит по правилу 1 инициализации <tex>[S ' \rightarrow \cdot \betaS, 0] \in I_0</tex>. <br>

<tex>\alpha = \alpha' a</tex>. <tex>\alpha \Rightarrow^*a_{i+1}...a_{j}</tex>, значит <tex>a = a_{j}</tex>. Рассмотрим набор <tex>\tau' = \mathcal {f} \alpha', a_{j} \beta, \gamma, \delta, A, i, j-1 \mathcal {g} </tex>. <tex>(A \rightarrow \alpha' a_{j} \beta) \in P</tex>, следовательно ранг <tex>\tau'</tex> равен <tex>r - 2</tex>, так как <tex>\tau_{1}(\tau) = \tau_1(\tau'), \tau_2(\tau) = \tau_2(\tau'), \tau_{3}(\tau) = \tau_3(\tau')</tex>. Значит по и.п. <tex>[A \rightarrow \alpha' \cdot a_{j} \beta, i] \in I_{j-1}</tex>, по правилу 4 1 получаем, что <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] </tex> будет добавлена в <tex>I_{j}</tex>. <br> <br>

<tex>\alpha = \alpha' B</tex>. <tex>\alpha \Rightarrow^*a_{i+1}...a_{j}</tex>, значит <tex>\mathcal {9} k</tex> такое, что <tex>\alpha' \Rightarrow^*a_{i+1}...a_{k}, B \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}</tex>.<br> Рассмотрим набор <tex>\tau' = \mathcal {f} \alpha', B \beta, \gamma, \delta, A, i, k \mathcal {g} </tex>, его ранг меньше <tex>r</tex>. По и.п. <tex>[A \rightarrow \alpha' \cdot B \beta, i] \in I_{k}</tex>. <br>Пусть <tex>B \Rightarrow \eta</tex> — первый шаг в кратчайшем выводе <tex>B \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}</tex>. Рассмотрим набор <tex>\tau'' = \mathcal {f} \eta, \varepsilon, \gamma \alpha', \beta \delta, B, k, j \mathcal {g} </tex>. <tex>S \Rightarrow^* \gamma A \delta \Rightarrow \gamma \alpha' B \beta \delta</tex>, следовательно <tex>\tau_1(\tau'') \leqslant \tau_1(\tau) + 1</tex>.<br> Обозначим длину кратчайшего вывода <tex>\alpha' \Rightarrow^*a_{i+1}...a_{k}</tex> за <tex>n_1</tex>, а длину кратчайшего вывода <tex> B \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}</tex> за <tex>n_2</tex>. Тогда <tex>\tau_3(\tau) = n_1 + n_2</tex>. Так как <tex> B \Rightarrow \eta \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}</tex>, то <tex>\tau_3(\tau'') = n_2 - 1</tex>. Очевидно, что <tex>\tau_2(\tau'') = \tau_2(\tau) + n_1</tex>. Тогда ранг <tex>\tau''</tex> равен <tex>\tau_1(\tau'') + 2(\tau_2(\tau'') + \tau_3(\tau'') + j) \leqslant \tau_1(\tau) + 1 + 2(\tau_2(\tau) + n_1 + n_2 - 1 + j)</tex> <tex>= \tau_1(\tau) - 1 + 2(\tau_2(\tau) + \tau_3(\tau) + j) < r</tex>. Значит по и.п. для <tex>\tau''</tex>, <tex>[B \rightarrow \eta \cdot, k] \in I_{j}</tex>. Из того, что <tex>[A \rightarrow \alpha' \cdot B \beta, i] \in I_{k}</tex> и <tex>[B \rightarrow \eta \cdot, k] \in I_{j}</tex> по правилу 4 1 или 5 2 <tex>[A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i] </tex> будет добавлена в <tex>I_{j}</tex>. <br> <br>

<tex>\alpha = \varepsilon</tex>, значит <tex>i = j, \tau_3(\tau) = 0</tex>.<br> Если <tex> \tau_1(\tau) = 0</tex>, то <tex> \gamma = \varepsilon</tex>, следовательно <tex> \tau_2(\tau) = 0, i = 0 </tex>, откуда <tex> r = 0</tex>, а по и.п. <tex>r > 0</tex>. Значит <tex> \tau_1(\tau) \neq 0</tex>. Тогда <tex> \mathcal {9} B, \gamma', \gamma'', \delta', \delta''</tex> такие, что <tex>S ' \Rightarrow^* \gamma' B \delta' \Rightarrow \gamma' \gamma'' A \delta' \delta''</tex>, где <tex>B = \gamma'' A \delta'' \in P</tex>. Рассмотрим набор <tex>\tau' = \mathcal {f} \gamma'', A \delta'', \gamma', \delta', B, k, j \mathcal {g} </tex>, где <tex>k</tex> такое, что <tex>\gamma' \Rightarrow^* a_1...a_{k}, \gamma'' \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}</tex>. Обозначим длину кратчайшего вывода <tex>\gamma' \Rightarrow^*a_{1}...a_{k}</tex> за <tex>n_1</tex>, а длину кратчайшего вывода <tex> \gamma'' \Rightarrow^* a_{k+1}...a_{j}</tex> за <tex>n_2</tex>. <br>Найдем ранг <tex>\tau'</tex>. <tex>\tau_1(\tau') = \tau_1(\tau) - 1, \tau_2(\tau') = n_1, \tau_3(\tau') = n_2, \tau_3(\tau) = 0, \tau_2(\tau) = n_1 + n_2</tex>. Следовательно ранг <tex>\tau'</tex> равен <tex>r - 1</tex>. Значит по и.п. <tex>[B \rightarrow \gamma'' \cdot A \delta'', k] \in I_{j}</tex>, следовательно по правилу 6 3 <tex>[A \rightarrow \cdot \beta, i] </tex> будет добавлена в <tex>I_{j}</tex>.