Пространство L p(E) — различия между версиями
(Есть немного треша) |
(доделал полностью, но надо исправить треш) |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | |||
− | |||
<tex> (X, \mathcal A, \mu) </tex> | <tex> (X, \mathcal A, \mu) </tex> | ||
Строка 70: | Строка 68: | ||
− | Примечание: должен был возникнуть вопрос — почему p \ge 1? | + | Примечание: должен был возникнуть вопрос — почему <tex> p \ge 1 </tex>? |
− | \int\limits_E |f|^p d \mu < + \infty при 0 < p < 1. | + | <tex> \int\limits_E |f|^p d \mu < + \infty </tex> при <tex> 0 < p < 1 </tex>. |
Тогда не будет работать неравенство Минковского. | Тогда не будет работать неравенство Минковского. | ||
− | L_p(E) — все равно линейное множество. Надо определить предельный переход не с помощью нормы.(как — третий курс) | + | <tex> L_p(E) </tex> — все равно линейное множество. Надо определить предельный переход не с помощью нормы.(как — третий курс) |
− | f_n \to f \ | + | <tex> f_n \to f \stackrel{def}{\Leftrightarrow} \int\limits_E |f_n - f|^p d \mu \to 0 </tex> |
− | L_p(E) тогда будет ТВП({{TODO|t=чё??}}), но не будет локально выпуклым, следовательно, не построим | + | <tex> L_p(E) </tex> тогда будет ТВП({{TODO|t=чё??}}), но не будет локально выпуклым, следовательно, не построим тривиальной линейной функции2. |
Полнота нормированного пространства: | Полнота нормированного пространства: | ||
− | f_n \in L_p(E) | + | <tex> f_n \in L_p(E) </tex> |
− | ||f_n - f_m||_p \xrightarrow[n,m \to \infty]{} 0 \stackrel{?}{\Rightarrow} f \in L_p(E): f = \lim\limits_{n \to \infty} f_n. | + | <tex> ||f_n - f_m||_p \xrightarrow[n,m \to \infty]{} 0 \stackrel{?}{\Rightarrow} f \in L_p(E): f = \lim\limits_{n \to \infty} f_n </tex>. |
Обратное всегда верно: | Обратное всегда верно: | ||
− | ||f_n - f_m||_p \le ||f_n - f||_p ||f_m - f||_p | + | <tex> ||f_n - f_m||_p \le ||f_n - f||_p + ||f_m - f||_p </tex> |
+ | |||
+ | <tex> f_n \to f \Rightarrow f_n - f_m \to 0 </tex> — сходимость в себе. | ||
+ | |||
− | |||
− | + | <tex> E = [a, b], \lambda </tex> — мера Лебега на <tex> E </tex>. | |
− | \int\limits_a^b f(x) dx — Риман | + | <tex> \int\limits_a^b f(x) dx </tex> — Риман |
− | \int\limits_{[a, b]} f d \lambda — Лебег. | + | <tex> \int\limits_{[a, b]} f d \lambda </tex> — Лебег. |
− | \ | + | <tex> \tilde{L_p}(a, b) = \{ f: [a, b] \to \mathbb R : \int\limits_a^b |f|^p dx < + \infty \} </tex> |
Нормированное пространство, но оно не будет полным. | Нормированное пространство, но оно не будет полным. | ||
− | f_n \in \ | + | <tex> f_n \in \tilde{L_p}, \int\limits_a^b |f_n - f_m|^p dx \to 0 </tex> |
− | Может не найтись интеграла по Риману функции, которая будет пределом f_n. Именно поэтому потребовалось распространение интеграла Римана на функции, суммируемые по Лебегу. | + | Может не найтись интеграла по Риману функции, которая будет пределом <tex> f_n </tex>. Именно поэтому потребовалось распространение интеграла Римана на функции, суммируемые по Лебегу. |
{{Теорема | {{Теорема | ||
Строка 111: | Строка 111: | ||
о полноте | о полноте | ||
|statement= | |statement= | ||
− | \forall L_p(E) — полное. | + | <tex> \forall L_p(E) </tex> — полное. |
|proof= | |proof= | ||
− | \int\limits_E |f_n - f_m|^p d \mu \to 0 по условию теоремы. | + | <tex> \int\limits_E |f_n - f_m|^p d \mu \to 0 </tex> по условию теоремы. |
− | E_{n, m} (\delta) = E(|f_n(x) - f_m(x)| \ge \delta) — часть E | + | <tex> E_{n, m} (\delta) = E(|f_n(x) - f_m(x)| \ge \delta) </tex> — часть <tex> E </tex>, поэтому <tex> \int\limits_{E_{n,m}(\delta)} |f_n - f_m|^p \le \int\limits_E |f_n - f_m|^p </tex> |
− | \ | + | <tex> \delta^p \mu E_{n, m} (\delta) \le \int\limits_E |f_n - f_m|^p \to 0, \delta </tex> — фиксирована. |
− | + | Тогда <tex> \mu E(|f_n - f_m| \ge \delta) \to 0 </tex>. | |
− | + | <tex> f_n - f_m \Rightarrow 0, n, m \to \infty </tex> | |
− | + | По лемме, которая перед теоремой Риса, утверждалось, что можно выделить <tex> f_{n_k} </tex>, почти везде стремящуюся к <tex> f </tex>. Установим с помощью теоремы Фату, что это — требуемая предельная функция <tex> f </tex> в <tex> L_p </tex> для <tex> E_n </tex>. | |
− | + | <tex> ||f_n - f_m||_p \to 0 </tex> | |
− | + | <tex> \forall \varepsilon > 0 \exists N: \forall n,m > N: \int\limits_E |f_n - f_m|^p d \mu < \varepsilon^p </tex> | |
− | \forall | + | Фиксируем <tex> \forall m > N </tex> и будем вместо n подставлять <tex> n_k > N </tex>. |
− | + | <tex> f_{n_k}(x) - f_m(x) \to f(x) - f_m(x) </tex> | |
− | f_{n_k} | + | По теореме Фату: <tex> \int\limits_E |f - f_m|^p \le \sup\limits_{k: n_k > N} \int\limits_E |f_{n_k} - f_m|^p < \varepsilon^p </tex> |
− | + | Итак, <tex> {\left(\int\limits_E |f - f_m|^p \right)}^{1/p} < \varepsilon, m > N </tex> | |
− | + | Отсюда, <tex> f - f_m \in L_p(E) </tex> | |
− | + | <tex> f = (f - f_m) + f_m </tex> и по линейности <tex> f \in L_p(E </tex>). Тогда неравенство можно переписать: <tex> ||f_m - f||_p < \varepsilon \ \forall m > N </tex>. Тогда по определению <tex> f = \lim\limits_{m \to \infty} f_m </tex>, полнота доказана. | |
− | f | + | Примечание: на этапе выделения <tex> f_{n_k} \to f </tex> — измеримая(WUT?) может получиться, что <tex> f </tex> — не интегрируема по Риману. |
− | + | }} |
Версия 23:31, 3 января 2012
- измерима на , то есть пространство функций, суммируемых с й степенью на . Измеримость на принципиальна, так как в общем случае из измеримости не вытекает измеримость .
Видимо, пример:
- не измеримо и содержится в .
— не измеримо на .
TODO: что нет? o_O
- нетна — измерима. Из измеримости модуля не вытекает измеримость функции.
Проверим, что
— измеримое множество.— следует ли .
Достаточно(почему?) доказать, что
.
, что и требовалось доказать.
Превратим
в нормированное пространство:
— отождествление функции, совпадают почти всюду.
Свойства интеграла:
— неравенство Минковского. Такое же неравенство можно написать для интеграла и получить нужное.
— неравенство Юнга.
Подставим
:
Интегрируем это неравенство по
.Так как
(аналогично, и ), равны 1, получаем:— неравенство Гёльдера.
, дальше арифметически получаем неравенство Минковского.
Значит,
— норма, — нормированное пространство, можно определить предел и т.д.
Примечание: должен был возникнуть вопрос — почему ?
при .
Тогда не будет работать неравенство Минковского.
— все равно линейное множество. Надо определить предельный переход не с помощью нормы.(как — третий курс)
TODO: чё??), но не будет локально выпуклым, следовательно, не построим тривиальной линейной функции2.
тогда будет ТВП(Полнота нормированного пространства:
.
Обратное всегда верно:
— сходимость в себе.
— мера Лебега на .
— Риман
— Лебег.
Нормированное пространство, но оно не будет полным.
Может не найтись интеграла по Риману функции, которая будет пределом
. Именно поэтому потребовалось распространение интеграла Римана на функции, суммируемые по Лебегу.Теорема (о полноте): |
— полное. |
Доказательство: |
по условию теоремы. — часть , поэтому — фиксирована. Тогда .
По лемме, которая перед теоремой Риса, утверждалось, что можно выделить , почти везде стремящуюся к . Установим с помощью теоремы Фату, что это — требуемая предельная функция в для .
Фиксируем и будем вместо n подставлять .
По теореме Фату: Итак, Отсюда, Примечание: на этапе выделения и по линейности ). Тогда неравенство можно переписать: . Тогда по определению , полнота доказана. — измеримая(WUT?) может получиться, что — не интегрируема по Риману. |