Мера подграфика

Эта статья находится в разработке!

Геометрический смысл интеграла Лебега.

E \subset \mathbb R^n, f : E \to (измерима) \mathbbR_+

G(f) = G = \{ (x_1, \dots , x_{n + 1} \in \mathbbR^{n+1} : (x_1 \dots x_n) \in E, 0 \le x_{n + 1} \le f(x_1, \dots x_n) \} — подграфик функции.

Теорема (о мере подграфика):

G(f) — измерим, \lambda_{n+1}(G) = \int\limits_E f d \lambda_n Сначала установим, как факты, связанные с цилиндрами. Если f(x1 \dots x_n) = c \ge 0 на E, то подграфик называется цилиндром в \mathbbR^{n + 1}. Утверждение: G - цилиндр высоты c \ge 0, имеримое E \in \mathbbR^n — основание. Тогда он измерим и \lambda_{n+1} G = c \lambda_n E. Доказательство: схема — от простого к сложному, применяется критерий \mu^+ -измеримости(принципа исчерпывания). 1) Пусть E — параллелепипед (ячейка), то G тоже ячейка, формула выполняется. 2) Пусть E — открытое множество. Его можно записать в форме E = \bigcup\limits_n \Delta_n — дизъюнктно G_n = \Delta_n \times [a, c] G - E \times [0, c] = \bigcup\limits_n G_n — дизъюнктны. G_n — измеримы, следоватлеьно, G — измеримо. По сигма-аддитивности меры \lambda_{n+1} G = \sum\limits_m \lambda_{n+1} G_m = \sum\limits_m c \lambda_n \Delta_m = c \sum\limits_m \lambda_n \Delta_m = c \lambda_n E 3) E — ограниченное замкнутое множество. E \in \Delta — открытый параллелепипед. \overline E = \Delta \setminus E — открыто — можно применить пункт 2: \lambda_{n+1} \overline G = c \lambda_n \overline E \lambda_{n+1} [\Delta \times [0, c]) = c \lambda_n \Delta_m E = \Delta \setminus \overline E, \lambda_{n+1} G = \lambda_{n+1} (\Delta \times [0, c]) - \lambda_{n+1}(\overline G) = c(\lambda_n \Delta - \lambda_n \overline E) = c \lambda_n E 4) E — ограничено и измеримости \forall \varepsilon > 0, по свойствам меры Лебега. Пусть F_\varepsilon — замкнутое, G_\varepsilon — открытое: F_\varepsilon \subset E \subset G_\varepsilon, \lambda_n G_\varepsilon - \lambda_n F_\varepsilon < \varepsilon. F_\varepsilon \times [a, c] \subset G \subset G_\varepsilon \times [0, c]. \lambda_{n + 1} (G_\varepsilon \times [0, c]) - \lambda_{n+1} (F_\varepsilon \times [0, c]) = c (\lambda_n G_\varepsilon - \lambda_n F_\varepsilon) < c \varepsilon \varepsilon — мало, следоватлеьно, по критерию \mu^*-измеримости, G — измеримо. По монотонности меры: c \lambda_n F_\varepsilon \le \lambda_{n+1} G \le c \lambda_n G_\varepsilon \lambda_n F_\varepsilon \le \lambda_n E \le \lambda_n G_\varepsilon (\varepsilon мало, это единственное число, которое можно вставить) c: c \lambda_n F_\varepsilon \le c \lambda_n E \le \lambda_n G_\varepsilon \rightarrow \lambda_{n+1} G = c \lambda_n E. 5) E — измеримое множество. Мера Лебега — сигма-конечна. E можно записывать как объединение возрастающих последовательностей ограниченных измеримых множеств, или как перемечение убывающих последовательностей ограниченных измеримых множеств, мера E = пределу мер. Так же запишется цилиндр G, он окажется измеримым, переходим к переделу, победа. Это утверждение позволяет стандартным образом доказать теорему. Базовым случаем будет тот, когда дело сводится к суммам Лебега-Дарбу. f — ограниченная функция, E — измеримое множество конечной меры. f — измерима \Rightarrow интеграл Лебега существует. \exists \int\limits_E f d \lambda_n \tau‘ E = \bigcup\limits_{\tau=1}^p e_\tau — дизъюнктны(какой-то треш) m_\tau = \inf\limits_{e_\tau} f(x), M_\tau = \sup\limits_{e_\tau} f(x) \underline s (\tau) = \sum\limits_{?=1}^p e_\tau m_\tau \lambda_n e_\tau \underline G (\tau) = \bigcup\limits_{?=1}^p \lambda_{n+1} \underline G_\tau = \sum\limits_{?=1}^p m_? \lambda_n e_? = \underline{CHTO ETO ZA BUKVA????} (\tau) Итак, \lambda_{n+1} \underline G(\tau) = \underline s(\tau) В силу определения m_? ясно, что \underline G(\tau) \subset G(f) — подграфик. Аналогично с M_? : G(f) \subset \overline G(\tau) \lambda_{n+1} \overline G(\tau) - \lambda_{n+1} \underline G(\tau) = \overline s(\tau) - \underline s (\tau) — сколь угодно мала в силу существования интеграла за счет выбора разбиения \tau. По критерию \mu^*-измеримости подграфик оказывается измеримым и \underline s(\tau) \le \lambda_{n+1} G(f) \le \overline s(\tau) = \lambda_{n+1} \overline G(\tau) В этом неравенстве разбиение — любое. Между парой сумм Лебега-Дарбу можно вставить только интеграл, значит, \lambda_{n+1} G(f) = \int\limits_E f d \lambda_n. Базовый случай разобран. Далее разбор случаев: 1) \lambda_n E = + \infty. E_m (стрелка вверх o_O). \lambda_n E_m < + \infty. E = \bigcup\limits_m E_m — по сигма-конечности меры. f — ограничена на E. G_m (стрелка вверх) — подграфик f пшшш. \bigcup\limits_m G_m = G — измерима. \lambda_{n+1} G = \lim \lambda_{n+1} G_m = \lim\limits_m \int\limits_{E_m} f d \lambda_n. Формула доказана. 2) Если f не ограничена на E произв. меры, то выстраиваем так называемые срезки: f_m(x) = \begin{cases} f(x), & f(x) \le m \\ m, & f(x) > m \end{cases} f_m(x) — измеримая, f_m(x) \to (m \to \infty) f(x) f_m(x) — возрастает, f_m(x) \le f_{m+1} (x) По теореме Леви: \int\limits_E f_m d \lambda_n \to \int\limits_E f d \lambda_n G_m — подграфик срезки f_m срезки — функция ограниченная. \int\limits_E f_m d \lambda_n = \lambda_{n+1} G_m \to \int\limits_E f d \lambda_n; с другой стороны f_n \to f, G_m (стрелка вверх), \bigcup\limits_m G_m = G — подграфик измерим и по сигма-аддитивности \lambda_{n+1} G = \lim\limits_m \lambda_m \lambda_{n+1} G_m = \int\limits_E f d \lambda_n. Формула выведена в общем случае.