Изменения

<tex> E \subset \mathbb R^n, f : E \to (измерима) \mathbbR_mathbb R_+ , f </tex> — измерима.

<tex> G(f) = G = \{ (x_1, \dots , ldots x_{n + 1} ) \in \mathbbRmathbb R^{n+1} : (x_1 \dots ldots x_n) \in E, 0 \le x_{n + 1} \le f(x_1, \dots ldots x_n) \} </tex> — подграфик функции.

<tex> G(f) </tex> — измеримизмеримо, <tex> \lambda_{n+1}(G) = \int\limits_E f d \lambda_n</tex>{{TODO|t=не очень понимаю, что доказывается}}|proof=

Если <tex> f(x1 x_1 \dots ldots x_n) = c \ge 0 </tex> на <tex> E</tex>, то подграфик называется цилиндром в <tex> \mathbbRmathbb R^{n + 1}</tex>.

{{Утверждение: |statement=<tex> G </tex> - цилиндр высоты c <tex> \ge 0</tex>, имеримое измеримое <tex> E \in \mathbbRmathbb R^n </tex> — основание. Тогда он измерим и <tex> \lambda_{n+1} G = c \lambda_n E</tex>.|proof=схема — от простого к сложному, применяется критерий <tex> \mu^+ </tex> -измеримости(принципа исчерпывания).

схема 2) Пусть <tex> E </tex> — от простого к сложному, применяется критерий открытое множество. Его можно записать в форме<tex> E = \bigcup\mu^+ -измеримости(принципа исчерпывания).limits_n \Delta_n </tex> — дизъюнктно

1) Пусть E — параллелепипед (ячейка), то G тоже ячейка, формула выполняется.2) Пусть E — открытое множество. Его можно записать в формеE <tex> G_n = \bigcupDelta_n \limits_n \Delta_n — дизъюнктноtimes [0, c] </tex>

G_n <tex> G = \Delta_n E \times [a0, c]= \bigcup\limits_n G_n </tex> — дизъюнктны.

<tex> G_n </tex> — измеримы, следоватлеьно, <tex> G - E \times [0, c] = \bigcup\limits_n G_n </tex> — дизъюнктныизмеримо.

G_n — измеримы, следоватлеьно, По сигма-аддитивности меры <tex> \lambda_{n+1} G — измеримо.= \sum\limits_m \lambda_{n+1} G_m = \sum\limits_m c \lambda_n \Delta_m = c \sum\limits_m \lambda_n \Delta_m = c \lambda_n E </tex>

По сигма-аддитивности меры \lambda_{n+1} G = \sum\limits_m \lambda_{n+1} G_m = \sum\limits_m c \lambda_n \Delta_m = c \sum\limits_m \lambda_n \Delta_m = c \lambda_n 3) <tex> E</tex> — ограниченное замкнутое множество.

3) <tex> E \subset \Delta </tex> — ограниченное замкнутое множествооткрытый параллелепипед.

<tex> \overline E = \in Delta \Delta setminus E </tex> — открыто — открытый параллелепипед.можно применить пункт 2:

<tex> \lambda_{n+1} \overline E G = c \Delta lambda_n \setminus overline E — открыто — можно применить пункт 2:</tex>

<tex> \lambda_{n+1} [\overline G Delta \times [0, c]) = c \lambda_n \overline EDelta </tex>

<tex> E = \Delta \setminus \overline E, \lambda_{n+1} [G = \lambda_{n+1} (\Delta \times [0, c]) - \lambda_{n+1}(\overline G) = c (\lambda_n \Delta - \lambda_n \Delta_moverline E) = c \lambda_n E </tex>

E = \Delta \setminus \overline E, \lambda_{n+1} G = \lambda_{n+1} (\Delta \times [0, c]) - \lambda_{n+1}(\overline G) = c(\lambda_n \Delta - \lambda_n \overline E4) = c \lambda_n <tex> E</tex> — ограниченное и измеримое

4) E — ограничено и измеримости<tex> \forall \varepsilon > 0</tex>, по свойствам меры Лебега.

Пусть <tex> F_\varepsilon </tex> — замкнутое, <tex> G_\varepsilon </tex> — открытое:

<tex> F_\varepsilon \subset E \subset G_\varepsilon, \lambda_n G_\varepsilon - \lambda_n F_\varepsilon < \varepsilon</tex>.

<tex> F_\varepsilon \times [a0, c] \subset G \subset G_\varepsilon \times [0, c]</tex>.

<tex> \lambda_{n + 1} (G_\varepsilon \times [0, c]) - \lambda_{n+1} (F_\varepsilon \times [0, c]) = c (\lambda_n G_\varepsilon - \lambda_n F_\varepsilon) < c \varepsilon</tex>

<tex> \varepsilon </tex> — мало, следоватлеьно, по критерию <tex> \mu^*</tex>-измеримости, <tex> G </tex> — измеримо. По монотонности меры:

<tex> c \lambda_n F_\varepsilon \le \lambda_{n+1} G \le c \lambda_n G_\varepsilon</tex>

<tex> \lambda_n F_\varepsilon \le \lambda_n E \le \lambda_n G_\varepsilon </tex> (<tex> \varepsilon </tex> мало, это единственное число, которое можно вставить{{TODO|t=че?}})

c: <tex> c \lambda_n F_\varepsilon \le c \lambda_n E \le c \lambda_n G_\varepsilon \rightarrow \lambda_{n+1} G = c \lambda_n E</tex>.

5) <tex> E </tex> — измеримое множество.

Мера Лебега — сигма-конечна. <tex> E </tex> можно записывать как объединение возрастающих последовательностей ограниченных измеримых множеств, или как перемечение убывающих последовательностей ограниченных измеримых множеств, мера <tex> E </tex> = пределу мер.

Так же запишется цилиндр <tex> G</tex>, он окажется измеримым, переходим к переделу, победа.{{TODO|t=понятно это только звучит}}}}