689
правок
Изменения
м
{{TODO|t=ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬМы уже построили по мере на полукольце множеств внешнюю меру, а по ней - меру на σ-алгебре. НУЖЕНСледующая теорема показывает, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ}} <tex>(X, \mathcal{R}, m) \to (X, 2^X, \mu^*) \to (X, \mathcal{A}, \mu)</tex>что при ее сужении на то полукольцо мы получим исходную меру.
1Пусть построения <tex>(X, \mathcal{R}, m) \to (X, 2^X, \mu^*) \to (X, \mathcal{A}, \mu)</tex> были выполнены так, как описывалось в предыдущих параграфах. Тогда:# <tex>\mathcal{R} \subset \mathcal{A}</tex>2. # <tex>\mu|_\mathcal{R} = m</tex>
Надо доказатьЕсли <tex>\mu^* E = +\infty</tex>, то неравенство тривиально, поэтому считаем, для что <tex>\mu^* E < +\infty</tex>, обратное {{---}} очевидно.
Складываем Складывая с предыдущим неравенством., получаем:
поправил теорему Каратеодори
==Теорема Каратеодори==
|author=Каратеодори
|statement=
|proof=
Если мы докажем, что <tex>\mathcal{R} \subset \mathcal{A}</tex>, то есть, любое множество из полукольца хорошо разбивает любое другое, то, взяв любое <tex>A \in \mathcal{R}</tex>, так как <tex>\mathcal{R} \subset \mathcal{A}</tex>, получим <tex>\mu^*(A) = \mu(A)</tex>. Но <tex>A\in \mathcal{A}</tex> и <tex>\mu^*</tex> порождена <tex>m</tex> (<tex>\mu^* |_\mathcal{R} = m</tex>), то есть , <tex>\mu^* A = mA \Rightarrow </tex>. Значит, <tex> \mu A = mA</tex> Значит, и второй пункт вытекает из первого. Докажем первый пункт.
Для этого нам нужно показать, что для любого <tex>\forall A \in \mathcal{R}\ \forall E \subset X</tex> нужно, чтобы выполнялось <tex>\forall E \subset X: \mu^* E \geq \mu^*(E\cap A) + \mu^*(E\cap\overline A)</tex>, тогда <tex> A </tex> хорошо разбивает любое множество (обратное неравенство, очевидно, выполняется по определению внешней меры) и принадлежит σ-алгебре.
Воспользуемся тем, что <tex>\mu^*</tex> порождена <tex>m</tex>:
<tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists A_1, A_2 \ldots A_n \ldots \in \mathcal{R} : E \subset \bigcup\limits_j A_j</tex>, <tex>\ \sum\limits_j mA_j < \mu E + \varepsilon</tex>
Пересекаем это включение с <tex>A</tex>
Значит, мы получили покрытие этого множества элементами полукольца.
Тогда, по определению <tex>\mu^*</tex>, порождённой <tex>m</tex>:
<tex>\mu^*(E\cap A) \leq \sum\limits_j m(A_j\cap A)</tex>
При пересечении с <tex> \overline A </tex> получим <tex>E\cap\overline A \subset \bigcup\limits_j(A_j\cap\overline A)</tex>. Однако, здесь нет гарантий, что <tex>A_j\cap\overline A \in \mathcal{R}</tex>.
<tex>A_j\cap\overline A = A_j\setminus A = A_j\setminus (A\cap A_j)</tex>, <tex>A\cap A_j \in \mathcal{R}</tex>
<tex>\sum\limits_p mD_{jp} = mA_j - m(A\cap A_j)</tex>
Тогда, <tex>\mu^*(E\cap\overline A)\leq \sum\limits_j (mA_j- m(A\cap A_j))</tex>
<tex>\mu^*(E\cap A) + \mu^*(E\cap\overline A) \leq \sum\limits_j mA_j < \mu^*E+\varepsilon</tex>
