Определение измеримой функции

Эта статья находится в разработке!

Будем рассматривать пространство [math] (X, \mathcal A, \mu) [/math], считаем, что мера [math] \mu [/math] — [math] \sigma [/math]-конечная, полная, то есть:

[math] X = \bigcup\limits_p X_p : \mu X_p \lt + \infty [/math]

[math] \mu B = 0 , A \subset B \Rightarrow A \in \mathcal A, \mu A = 0 [/math]

Пусть [math] E \subset X, f: E \rightarrow \mathbb R [/math], будем обозначать как [math] E (f [/math] обладает свойством [math] P )[/math] совокупность точек из [math]E[/math], для которых свойство [math] P [/math] верно.

Определение:

[math] a \in \mathbb R [/math], [math] E(f \lt a), E(f \le a), E(f \gt a), E(f \ge a) [/math] — множества Лебега функции [math] f [/math].

Определение:

[math] f : E \rightarrow \mathbb R [/math] называется измеримой по Лебегу, если для любого [math] a \in \mathbb R [/math] множества Лебега всех четырех типов измеримы(то есть, принадлежат сигма-алгебре).

Утверждение (Измеримость по Лебегу):

Функция измерима по Лебегу на [math] E [/math] [math] \Leftrightarrow [/math] для любого [math] a [/math] измеримо её множество Лебега одного любого фиксированного типа.

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math] E(f \lt a) [/math] — измеримо для любого [math] a [/math]. Установим измеримость остальных: [math] E(f \le a) = \bigcap\limits_{n = 1}^{\infty} E(f \lt a + \frac1n) [/math] — тоже измеримо, как счётное пересечение измеримых множеств. [math] E(f \gt a) = \overline{E(f \le a)} [/math] — тоже измеримо. [math] E(f \ge a) = \bigcap\limits_{n = 1}^{\infty} E(f \gt a - \frac1n) [/math] — аналогично, измеримо.

[math]\triangleleft[/math]

Используя ту же технику, легко установить, что из измеримости [math]f[/math] на [math]E[/math] следует и измеримость самого [math]E[/math], [math]E = \bigcup\limits_{n=1}^\infty E(f \lt n)[/math]

Пример измеримой функции — [math]f(x) = C[/math] на измеримом [math]E[/math].

[math]E(f\lt a) = \left\{ \begin{aligned} E &, C \lt a \\ \varnothing &, C \geq a \end{aligned} \right. [/math]

Так как [math]E[/math] измеримо, то постоянная функция на нём измерима.

Всё это распространяется на [math]E = \bigcup\limits_p E_p[/math], [math]E_p \in \mathcal{A}, E_p [/math] — дизъюнктны.

Аналогично, измерима на [math]E[/math] функция [math]f : E \to \mathbb R [/math], [math]f(x) = a_p, x\in E_p[/math].

Утверждение:

Пусть [math]F \subset \mathbb{R}^n[/math] — замкнутое множество, в [math]\mathbb{R}^n[/math] есть мера [math]\lambda[/math]. Тогда непрерывная функция [math]f : F \to \mathbb{R}[/math] — измерима.

[math]\triangleright[/math]

Установим измеримость [math]F(f\leq a)[/math]. Проверим, что оно замкнуто. Рассмотрим последовательность [math]\bar x_j \in F(f\leq a)[/math], пусть она сходится к [math] \bar x [/math]. По определению множества Лебега, [math]f(\bar x_j) \leq a[/math]. Так как [math] F [/math] — замкнутое, и [math]\bar x_j \in F[/math], то предел тоже принадлежит [math]F[/math]. Значит, по непрерывности, [math]f(\bar x_j) \to f(\bar x)[/math]. По непрерывности [math] f [/math], из того, что [math] f(\bar x_j) \le a [/math], следует [math]f(\bar x)\leq a [/math], то есть, [math] \bar x \in F(f\leq a)[/math]. Множество содержит в себе пределы всех сходящихся подпоследовательностей, то есть замкнуто. Но, как было установлено ранее, замкнутые множества измеримы по Лебегу.

[math]\triangleleft[/math]

Вывод: класс непрерывных функций содержится в классе измеримых.

Следует обратить внимание, что столь простые рассуждения проходят по той причине, что мы не интересуемся тем, как устроены множества Лебега. Нас интересует только одно их свойство — принадлежность [math]\mathcal{A}[/math]. Природа этих множеств может быть крайне сложной.

Теорема:

Пусть [math]f[/math] и [math]g[/math] измеримы на [math]E[/math]. Тогда 1) [math]|f|[/math] — измерима 1.5) [math]af[/math] — измеримо ([math]a \in \mathbb{R}[/math]) 2) [math]f^2[/math] — измеримо 3) [math]f + g[/math] — измеримо 4) [math]f \cdot g[/math] — измеримо

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1 и 2) доказываются одинаково. Рассмотрим, например, [math]E(f^2\lt a)[/math]. При [math]a\geq 0[/math] оно может быть непустым. Но это равносильно [math]E(-\sqrt{a} \lt f \lt \sqrt{a}) = E(-\sqrt{a} \lt f) \cap E(f\lt \sqrt{a})[/math]. Это пересечение двух измеримых множеств Лебега [math]\Rightarrow[/math] измеримо. 3) Доказывается чуть сложнее [math]f(x) + g(x) \gt a \iff g(x) \gt a - f(x)[/math] Базируясь на том,что [math]\mathbb{Q}[/math] всюду плотно на оси, [math]\exists r \in \mathbb{Q} : g(x) \gt r \gt a - f(x)[/math] Тогда [math]E(f + g\gt a) = \bigcup\limits_{r\in\mathbb{Q}}(E(g\gt r) \cap E(f \gt a - r))[/math] Это объединение пересечений измеримых множеств Лебега функций [math]f[/math] и [math]g[/math], операций — счётное число. Значит, [math]f+g[/math] тоже измеримо. 4) Вытекает из прошлых: [math]f \cdot g = \frac{(f+g)^2 - (f-g)^2}{4}[/math]

[math]\triangleleft[/math]