Классические теоремы теории измеримых функций

Докажем сначала некоторое полезное вспомогательное утверждение.

Лемма:

Пусть функциональная последовательность [math]f_n[/math] — измерима на [math]E[/math] и [math]\mathcal {8}\delta \gt 0:[/math] [math]\mu E(| f_n - f_m | \ge \delta)\xrightarrow[n,m \rightarrow \infty]{} 0[/math]. Тогда существует последовательность [math]\exists n_k [/math], такая что [math]\{f_{n_k}(x)\} [/math] почти всюду сходится на [math]E[/math]. (Другими словами, из сходимости в себе функциональной последовательности следует сходимость почти всюду на подпоследовательности).

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Для начала, докажем от нечего делать обратное утверждение: [math]f_n \Rightarrow f[/math] на [math]E[/math]. [math]\mathcal{8} \delta \gt 0:[/math] [math]E(|f_n - f_m| \geq \delta) \subset E(|f_n - f| \geq \frac{\delta}{3}) ~ \cup ~ E(|f_m - f| \geq \frac{\delta}{3}); [/math] [math]\mu E(|f_n - f_m| \geq \delta) \leq \mu E(|f_n - f| \geq \frac{\delta}{3})(\rightarrow 0) + E(|f_m - f| \geq \frac{\delta}{3})(\rightarrow 0)[/math] То есть, из сходимости по мере вытекает сходимость по мере в себе. Возьмём [math] \varepsilon_k \gt 0, \sum\limits_{k = 1}^\infty \varepsilon_k \lt +\infty[/math]. Например, [math]\varepsilon_k = \frac{1}{2^k}[/math]. В силу условия леммы, для [math]\varepsilon_1\ \exists n_1 \forall n, m \gt n_1 : \mu E(|f_n - f_m| \geq \varepsilon_1) \lt \varepsilon_1[/math] Рассмотрим [math]m = n_1[/math], [math]\forall n \geq m[/math]: [math]\varepsilon_2 : \exists n_2 \gt n_1\ \forall n \gt n_2 : \mu E(|f_n - f_{n_2}| \geq \varepsilon_2) \lt \varepsilon_2[/math] Раз [math]n_2 \gt n_1[/math], [math]\mu E(|f_{n_2} - f_{n_1}| \geq \varepsilon_1) \lt \varepsilon_1[/math] (По выбору [math]n_1[/math]) [math]\varepsilon_3 : \exists n_3 \gt n_2\ \forall n \gt n_3 : \mu E(|f_n - f_{n_3}| \geq \varepsilon_3) \lt \varepsilon_3[/math] Раз [math]n_3 \gt n_2[/math], [math]\mu E(|f_{n_3} - f_{n_2}| \geq \varepsilon_2) \lt \varepsilon_2[/math] Продолжаем по индукции [math]n_1 \lt n_2 \lt n_3 \lt \cdots[/math]: [math]\mu E(|f_{n_{k + 1}} - f_{n_k}| \geq \varepsilon_k) \lt \varepsilon_k[/math] [math]B_k = \bigcup\limits_{j=k}^\infty E(|f_{n_{j + 1}} - f_{n_j}| \geq \varepsilon_j)[/math] [math]\mu B_k \leq \sum\limits_{j=k}^\infty \mu E(|f_{n_{j + 1}} - f_{n_j}| \geq \varepsilon_j) \lt \sum\limits_{j = k}^\infty \varepsilon_j \rightarrow 0[/math] как остаток сходящегося положительного ряда [math]\varepsilon_k[/math]. [math]B = \bigcap\limits_{k=1}^\infty B_k[/math], [math]B \subset B_k[/math], по монотонности меры, [math]\mu B \leq \mu B_k \to 0[/math]. Значит, [math]\mu B = 0[/math]. Рассмотрим [math]A = E \setminus B[/math] и установим, что на этом множестве последовательность функций [math]\{f_{n_k}\}[/math] сходится. Тогда, в силу нульмерности [math]B[/math], что она будет сходиться на [math]E[/math] уже почти всюду. [math]A = \bar B = \bigcap\limits_{k=1}^\infty \bar B_k[/math]. Так как [math]x \in A [/math], то есть [math] k_x [/math], такой, что [math] x \in \bar B_{k_x}[/math]. [math]\bar B_{k_x} = \bigcap\limits_{j=k_x}^\infty E(|f_{n_{j + 1}} - f_{n_j}| \lt \varepsilon_j)[/math] Раз [math]x \in \bar B_{k_x}[/math], [math]\forall j \geq k_x : |f_{n_{j + 1}}(x) - f_{n_j}(x)| \lt \varepsilon_j[/math] Рассмотрим теперь выражение [math]f_{n_1}(x) + \sum\limits_{j = 1}^\infty(f_{n_{j + 1}}(x) - f_{n_j}(x))[/math]: Для заданного [math]x[/math] начиная с [math]j = k[/math], [math]|f_{n_{j + 1}}(x) - f_{n_j}(x) | [/math] начнут мажорироваться сходящимся рядом [math]\varepsilon_k[/math]. Тогда этот ряд сходится. Значит, [math]\forall x\leq A[/math] функциональная последовательность сходится.

[math]\triangleleft[/math]

Связь сходимости по мере и почти всюду

Разделим [math][0; 1][/math] на [math]m[/math] равных частей. [math]E = [0; 1][/math].

[math]k = 0, 1 \ldots n - 1 : f_{k, m}(x) = \begin{cases}0, & x \notin \left[\frac{k}m; \frac{k+1}m\right]\\1, & x \in \left[ \frac{k}m; \frac{k+1}m \right] \end{cases}[/math]

Растягиваем таблицу из этих функций в строчку: [math]f_{1,1}, f_{1,2}, f_{2, 2}, f_{1,3}, f_{2,3}, f_{3, 3}, \ldots[/math] — функциональная последовательность.

[math]E(|f_{k,m}(x)|\geq \delta)[/math], [math]\delta \gt 0[/math]. В силу определений этих функций очевидно, что [math]\lambda E(|f_{k,m}(x)| \geq \delta) \leq \frac1m[/math]

Очевидно, что [math]f_{k,m} \Rightarrow 0[/math]

С другой стороны, очевидно, что к [math]0[/math] она почти всюду не стремится, ибо при [math]x \in \left[ \frac{k_x}m; \frac{k_x + 1}m \right] \ f_{k_x, m} = 1[/math].

Мы можем строить подпоследовательность функций, которые равны [math]1[/math], значит, стремятся к [math]1[/math]. Аналогично с нулём.

Мы получили пример того, что даже на множестве конечной меры, из сходимости по мере сходимость почти всюду не следует.

Теорема Рисса

Теорема (Фердинанд Рисс):

Пусть последовательность функций сходится по мере к функции [math]f[/math] на [math]E[/math]. Тогда из неё можно выделить подпоследовательность, которая сходится почти всюду на [math]E[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Выше мы показали, что если [math]f_n \Rightarrow f[/math], то [math]|f_n - f_m| \Rightarrow 0[/math], [math]n,m \to \infty[/math]. Тогда, пользуясь леммой, выделяем требуемую последовательность функций.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема Лузина

Теорема (Лузин):

[math]E \subset \mathbb{R}^n[/math], [math]f[/math] — измерима на [math]E[/math] по мере Лебега. Тогда [math]\forall\varepsilon\gt 0\ \exists \varphi[/math] — непрерывная на [math]\mathbb{R}^n[/math], [math]\lambda_nE(f\ne\varphi)\lt \varepsilon[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Не в этой жизни

[math]\triangleleft[/math]

Это принято называть [math]C[/math]-свойством Лузина.

Если, помимо всего прочего, [math]f(x)[/math] ограничена [math]M[/math] на [math]E[/math], то [math]\varphi[/math] можно подобрать таким образом, что она ограничена той же постоянной на [math]\mathbb{R}^n[/math].

Теорема Фреше

Теорема (Фреше):

[math]E\subset \mathbb{R}^n[/math], [math]f[/math] — измерима на [math]E[/math]. Тогда [math]\exists\varphi_n[/math] — последовательность непрерывных на [math]\mathbb{R}^n[/math] функций, такая, что [math]\varphi_n\to f[/math] почти всюду на [math]E[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]\varepsilon_n \to 0[/math]. По теореме Лузина, [math]\forall\varepsilon_n\ \exists\varphi_n[/math] — непрерывная: [math]\forall \delta\gt 0: E(|\varphi_n - f| \gt \delta) \lt E(\varphi_n \ne f)[/math]. [math]\lambda E(|\varphi_n - f| \gt \delta) \leq \lambda E(\varphi_n \ne f) \lt \varepsilon_n \to 0[/math]. Значит, [math]\lambda E(|\varphi_n-f| \gt \delta) \to 0[/math]. Значит, [math]\varphi_n \Rightarrow f[/math]. По теореме Рисса, [math]\exists\varphi_{n_k} \to f[/math] почти всюду на [math]E[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема Егорова

Д.Ф. Егоров — основатель московской школы теории функций. Не понравился Сталину, жизнь закончил в городе Казань.

Теорема (Егоров):

Пусть [math]\mu E \lt +\infty[/math], [math]f_n \to f[/math] почти всюду на [math]E[/math], [math]\delta \gt 0[/math]. Тогда [math]\exists E'' \subset E[/math], [math]\mu E'' \gt \mu E - \delta[/math], [math]f_n \stackrel{E''}{\rightrightarrows} f[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\bigcup\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n - f| \geq \frac1p)[/math] — нульмерно. Пусть [math]B_m(p) = \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n - f| \geq \frac1p) \supset B_{m+1}(p)[/math] В силу конечности меры [math]E[/math], из [math]\sigma[/math]-аддитивности, [math]\mu B_m(p) \xrightarrow[m\to\infty]{} \mu\bigcap\limits_{m=1}^\infty B_m(p)[/math] (этот факт был установлен нами ранее, при доказательстве теоремы Лебега). Но любое пересечение содержится в объединении [math]\bigcap\limits_{m=1}^\infty B_m(p)\subset \bigcup\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{m=1}^\infty B_m(p)[/math] — нульмерно [math]\Rightarrow[/math] по монотонности меры, [math]\mu\bigcap\limits_{m=1}^\infty B_m(p) = 0[/math]. Для [math]\frac{\delta}{2^p} [/math] существует [math] B_{m_j}(p) : \mu B_{m_j}(p) \lt \frac{\delta}{2^p}[/math]. [math]E' = \bigcup\limits_{p=1}^\infty B_{m_p}(p)[/math] По полуаддитивности меры, [math]\mu E' \leq \sum\limits_{p=1}^\infty B_{m_p}(p) \leq \sum\limits_{p=1}^\infty \frac\delta{2p} = \delta[/math]. [math]\mu E' \lt \delta[/math], [math]\bar E' = E \setminus E'[/math], значит, [math]\mu \bar E' = \mu E - \mu E' = \mu E - \delta[/math]. Пусть [math] E'' = \bar E' [/math]. По двойственности, [math]\bar E' = \overline{\bigcup\limits_{p=1}^\infty B_m(p)} = \bigcap\limits_{p=1}^\infty \overline{B_{m_p}(p)}[/math]. [math]B_{m_p}(p) = \bigcup\limits_{n=m_p}^\infty E(|f_n - f| \geq \frac1p)[/math]. Значит, [math]\bar B_{m_p}(p) = \bigcap\limits_{n=m_p}^\infty E(|f_n f| \lt \frac1p)[/math]; Окончательно получается, что [math]\bar E' = \bigcap\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{n=m_p}^\infty E(|f_n - f| \lt \frac1p)[/math]. [math]\mu\bar E' \gt \mu E - \delta[/math] [math]\forall x \in \bar E' \Rightarrow \forall p=1,2,\ldots x \in \bigcap\limits_{n=m_p}^\infty E(|f_n - f| \lt \frac1p)[/math]. Значит, [math]\forall n \gt m_p : |f_n(x) - f(x)| \leq \frac1p[/math]. В силу того, что номер [math]m_p[/math] выбирается независимо от [math]x[/math], а только по [math]\delta[/math] и [math]p[/math], [math]f_n \stackrel{\bar E''}{\rightrightarrows} f[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Смысл теоремы Егорова в том, что сходимость почти всюду не очень сильно (с точностью до множества малой меры) отличается от равномерной сходимости.