Изменения

{{TODO[[Математический_анализ_2_курс|t=ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ}}на главную <<]] [[Некоторые элементарные свойства интеграла Лебега|>>]]

Есть <tex>\langle (X, \mathcal{A}, \mu \rangle)</tex>. Далее, мы всегда предполагаем, что <tex>\mu</tex> {{---}} <tex>\sigma</tex>-конечная и полная.  Пусть <tex>E</tex> {{---}} измеримое множество (<tex>E \in \mathcal{A}</tex>).

Разобьём <tex>E</tex> на конечное число попарно дизъюнктных измеримых частей. :

<tex>E = \bigcup\limits_{p=1}^\infty e_p</tex> {{---}} дизъюнктные и измеримые. <tex>\tau = \{e_1; e_2; \ldots e_n\}</tex> {{---}} разбиение.

|statement=<tex>\exists</tex> Существует хотя бы одно разбиение.|proof=Вот оно! <tex>\tau = \{E\}</tex>. Если что, всегда можно предъявить разбиение <tex> E = E \cup \varnothing </tex>.

Системы Строим системы чисел <tex>m_p(f) = m_p = \inf\limits_{x \in e_p} f(x)</tex>, <tex>M_p(f) = M_p = \sup\limits_{x\in e_p} f(x)</tex> {{---}} , они конечны.

|definition=<tex>\tau_1, \tau_2</tex> {{---}} разбиения. Если любой отрезок <tex>\forall e \in \tau_1</tex> содержится в каком-то отрезке <tex>e' \in \tau_2</tex>, то <tex>\tau_1</tex> мельче <tex>\tau_2</tex>, <tex>\tau_1 \leq \tau_2</tex>.

|statement=1. <tex>\underline{s}(\tau) \leq \overline{s}(\tau)</tex>

На базе этой леммы вы видим: Тогда, если определить <tex>\underline{L} = \sup\limits_{\tau} \underline{s}(\tau)</tex>, <tex>\overline{L} = \inf\limits_{\tau} \overline{s}(\tau)</tex>, то из леммы следует: <tex>\underline{s}(\tau) \leq \underline{L} \leq \overline{L} \leq \overline{s}(\tau)</tex>.

|definition=Если <tex>\underline{L} = \overline{L}</tex>, то <tex>f</tex> {{---}} интегрируемая интегрируема по Лебегу на <tex>E</tex>, общее значение этих чисел {{---}} интеграл Лебега, <tex>\underline{L}=\overline{L} = \int\limits_E f d\mu</tex>.

|statement=Пусть <tex>f</tex>{{---}} измерима и ограничена на <tex>E</tex>, <tex>\mu E < +\infty</tex>. Тогда <tex>f</tex>{{---}} интегрируемая интегрируема по Лебегу на <tex>E</tex>. |proof=<tex>f</tex> {{---}} ограничена <tex>\Rightarrow</tex> , значит <tex>\exists M > 0 \forall x : |f(x)| < M </tex>. Разобьём <tex>[-M; M]</tex> на <tex>n</tex> равных частей.

<tex>e_k = E(y_k \leq f(x) \leq y_{k+1})</tex>. В силу измеримости <tex>f</tex> {{---}} это измеримое множество, так как, <tex>-M \leq f(x)\leq M</tex>, <tex>E = \bigcup\limits_{k=0}^{n-1} E_k</tex>, все дизъюнктныэти множества измеримы.

<tex>-M \leq f(x)\leq M</tex>, <tex>E = \bigcup\limits_{k=0}^{n-1} E_k</tex> — дизъюнктны.  Итак, мы получили разбиение <tex>E</tex>. Теперь убедимся, что пределы сумм Лебега-Дарбу на нем совпадают:

<tex>\mu e_k \geq 0</tex>. , поэтому <tex>\sum\limits_{k=0}^{n-1}y_k \mu e_k \leq \underline{s}(\tau) \leq \underline{L} \leq \overline{L} \leq \overline{s}(\tau) \leq \sum\limits_{k=0}^{n-1}y_{k+1}\mu e_k</tex>

<tex>n</tex> {{---}} произвольное, натуральное. Устремляем Устремляя к бесконечности, получаем требуемое.

|statement=<tex>f\in\mathcal{R}(a;b) \Rightarrow f \in \mathcal{L}</tex>. Существует Иначе говоря, существует интеграл Лебега <tex>\int\limits_{[a;b]} fd\lambda = \int\limits_a^b fdx</tex>.|proof=Раз функция интегрируема по Риману, то между нижней и верхней суммами Дарбу можно вставить только одно число {{---}} интеграл Римана.

Для дальнейших построений воспользуемся тем, что если если <tex>\inf</tex> берётся по подмножествамубывающей серии подмножеств, то он не может убывать. Аналогично, <tex>\sup</tex>{{---}} не может возрастать.

Всё это вместе: раз Так как интеграл Римана {{---}} общее значение соответствующих граней нижней и верхних сумм Дарбу. , то:

<tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists \tau = \{a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b\}:</tex>

Сопоставляя это с прошлым неравенством, приходим к выводу, что <tex>\int\limits_a^b f(x)dx - \varepsilon < \underline{L} \leq \overline{L} < \int\limits_a^b f(x)dx+ \varepsilon</tex>

Здесь только одна переменная {{---}} <tex>\varepsilon</tex>. При <tex>\varepsilon \to 0</tex> победа, <tex>\int\limits_a^b f(x)dx = \int\limits_{[a; b]}fd\lambda</tex>.

С другой стороны, она кусочно-постоянная на оси. <tex>\mathbb{Q}</tex>{{---}} измеримое по Лебегу, ибо счётно. Значит, <tex>f</tex>{{---}} измеримо на всей оси, а значит, и на <tex>[0; 1]</tex>. Тогда по доказанному выше(намного выше <tex>\smile</tex>) теореме, она интегрируема по Лебегу на <tex>[0; 1]</tex>. Однако, по Риману она не интегрируема. Выходит, на <tex>\mathbb{R}</tex> вещественной оси интеграл Лебега {{---}} распространение интеграла Римана . [[Математический_анализ_2_курс|на отрезке.главную <<]] [[Некоторые элементарные свойства интеграла Лебега|>>]][[Категория:Математический анализ 2 курс]]