689
правок
Изменения
убрал косяки
[[Классические теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега|<tex<]][[Мера подграфика|> (X, \mathcal A, \mu) </tex>]]
Будем рассматривать <tex> E \subset (X, \mathcal A , \mu) </tex>.Пусть <tex> E </tex> измеримо, <tex> p \ge 1 </tex>.
<tex> L_p(E) = \{f </tex> - измерима на <tex> E, \int\limits_E {|f|}^p d \mu < + \infty \} </tex>, то есть пространство функций, суммируемых с <tex> p </tex>й -ой степенью на <tex> E </tex>. Измеримость <tex> f </tex> на <tex> E </tex> принципиальна, так как в общем случае из измеримости <tex> |f|^p </tex> не вытекает измеримость <tex> f </tex>.
<tex> E_1 </tex> - не измеримо и содержится в <tex> E </tex>.
<tex> f(x) = \begin{cases} 1, & x \in E \setminus E_1 \\ -1, & x \in E_1 \end{cases} </tex> — не измеримо измерима на <tex> E </tex>.
Но <tex> E(|f(x) \le -|^p = 1) = E_1 </tex> - нет {{TODO|t=что нет? o_O }}на <tex> E </tex> уже будет измеримой. Значит, из измеримости модуля не вытекает измеримость функции.
{{Теорема
|statement=
<tex> L_p(E) </tex> — линейное пространство.
|proof=
Нам нужно доказать, что если <tex> \int\limits_E |f|^p, \int\limits_E |g|^p < + \infty </tex>, то <tex> \int\limits_E |\alpha f + \beta g|^p < + \infty </tex>.
1) Докажем, что <tex> \int\limits_E |f + g|^p < + \infty </tex>.
Пусть <tex> \int\limits_E E_1 = E(|f|^p, \int\limits_E le |g|^p < + \infty ) </tex> — следует ли ,<tex> \int\limits_E E_2 = E(|\alpha f + \beta | > |g|^p ) </tex>,< + tex> E = E_1 \infty cup E_2 </tex>.
2) Если <tex> \int \limits_E |f + g|^p < +\infty </tex>, то и <tex> \int \le ( limits_E |\alpha f| + ^p = |\alpha|^p \int \limits_E |gf| )^p < +\infty </tex>.
{{Теорема
|statement=
<tex> L_p(E) </tex> с нормой, определенной как <tex> ||f||_p = \left( \int\limits_E |f|^p \right)^{1/p} </tex> — нормированное пространство.
|proof=
2) <tex> ||\alpha f||_p = |\left( \int\limits_E alpha| ||f|^p \right)^{1/p} |_p </tex>— напрямую следует из линейности интеграла.
3) <tex> ||f+ g||_p = 0 \Leftrightarrow le ||f = 0 ||_p + ||g||_p </tex> — отождествление функции, совпадают почти всюду.:
<tex> uv \le \frac1p u^p + \frac1q v^q, \frac1p + \frac1q = 1, p \ge 1, q \ge 1 </tex> — неравенство Юнга.
Так как <tex> \int\limits_E \frac{|f|^p}{||f||_p^p} </tex>(аналогично, <tex> g </tex> и <tex> q </tex>), равны 1, получаем:
<tex> \int\limits_E |f| |g| \le ||f||_p ||g||_q </tex> — неравенство Гёльдерадля интегралов.
<tex> \int\limits_E {(|f| + |g|)}^p = \int\limits_E {(|f| + |g|)}^{p-1} |f| + \int\limits_E {(|f| + |g|)}^{p-1} |g| \le </tex> <tex> \le {( \int\limits_E |f|^p )} ^{1/p} {( \int\limits_E (|f| + |g|)^{(p-1)q})}^{\frac1q} + {( \int\limits_E |g|^p )} ^{1/p} {( \int\limits_E (|f| + |g|)^{(p-1)q})}^{\frac1q}</tex>
<tex> q = \frac{p}{p-1} </tex>, дальше арифметически получаем неравенство Минковского.
}}
Значит, <tex> ||\ cdot||_p </tex> — норма, <tex> L_p(E) </tex> — нормированное пространство, можно определить предел и т.д.
Так как<tex> L_p(E) ||f_n - f_m||_p \le ||f_n - f||_p + ||f_m - f||_p </tex> тогда будет ТВП({{TODO|t=чё??}}), но не будет локально выпуклым, следовательно, не построим тривиальной линейной функции2.то
<tex> f_n \in L_p(E) </tex>
Пусть <tex> f_n E = [a, b], \to f \Rightarrow f_n - f_m \to 0 lambda </tex> — сходимость в себемера Лебега на <tex> E </tex>.
<tex> \int\limits_a^b f(x) dx </tex> — интеграл Римана.
Если взять <tex> \tilde{L_p}(a, b) = \{ f: [a, b] \to \mathbb R : \int\limits_a^b |f|^p dx < + \infty \} </tex>, то оно будет нормированным пространством, но не будет полным:
Даже если <tex> E = [af_n \in \tilde{L_p}, \int\limits_a^b], |f_n - f_m|^p dx \lambda to 0 </tex> — мера Лебега на , может не найтись предела <tex> E f_n </tex>.{{TODO|t=А ДОКАЗАТЬ???}}
{{Теорема
о полноте
|statement=
<tex> \forall L_p(E) </tex> — полное.
|proof=
По условию теоремы, <tex> \int\limits_E |f_n - f_m|^p d \mu \to 0 </tex> по условию теоремы.
<tex> E_{n, m} (\delta) = E(|f_n(x) - f_m(x)| \ge \delta) </tex> — часть <tex> E </tex>, поэтому <tex> \int\limits_{E_{n,m}(\delta)} |f_n - f_m|^p \le \int\limits_E |f_n - f_m|^p </tex>.
<tex> \delta^p \mu E_{n, m} (\delta) \le \int\limits_E |f_n - f_m|^p \to 0, \delta </tex> — фиксирована.
Тогда <tex> \mu E(|f_n - f_m| \ge \delta) \to 0 </tex>.
<tex> f_n - f_m \Rightarrow 0, </tex> при <tex> n, m \to \infty </tex>.
По лемме, которая перед теоремой Риса, утверждалось, что можно выделить <tex> f_{n_k} </tex>, почти везде стремящуюся сходящуюся к <tex> f </tex>. Установим с помощью теоремы Фату, что это — требуемая предельная функция <tex> f </tex> в <tex> L_p </tex> для <tex> E_n E</tex>.
<tex> ||f_n - f_m||_p \to 0 </tex>, следовательно,<tex> \forall \varepsilon > 0 \ \exists N: \forall n,m > N: \int\limits_E |f_n - f_m|^p d \mu < \varepsilon^p </tex>
Фиксируем <tex> \forall m > N </tex> и будем вместо n подставлять <tex> n_k > N </tex>.
По теореме Фату: <tex> \int\limits_E |f - f_m|^p \le \sup\limits_{k: n_k > N} \int\limits_E |f_{n_k} - f_m|^p < \varepsilon^p </tex>
Итак, <tex> {\left(\int\limits_E |f - f_m|^p \right)}^{1/p} < \varepsilon, </tex> при <tex> m > N </tex>.
Отсюда, <tex> f - f_m \in L_p(E) </tex>.
Но <tex> f = (f - f_m) + f_m </tex> и , по линейности , <tex> f \in L_p(E </tex>). Тогда неравенство можно переписать: <tex> ||f_m - f||_p < \varepsilon \ \forall m > N </tex>. Тогда по определению <tex> f = \lim\limits_{m \to \infty} f_m </tex>, полнота доказана.
Примечание: на этапе выделения подпоследовательности <tex> f_{n_k} \to </tex>, стремящейся к <tex> f </tex> — измеримая(WUT?) почти всюду, может получиться, что <tex> f </tex> — не интегрируема по Риману.
}}
[[Классические теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега|<<]][[Мера подграфика|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]