Изменения

<tex> \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n^+ - \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n^-</tex>

<tex> f_-(x) = \begin{cases} 0, & f(x) \ge > 0 \\ -f(x), & f(x) \le 0 \end{cases} </tex> Из измеримости следует, что f_+ и f_- также измеримы. Также они неотрицательны. f = f_+ - f_- |f| = f_+ + f_- \int\limits_E f_+, \iny\limits_E f_- — определены в пределах f.

Из измеримости <tex> f суммируема на E</tex> следует, если на нём суммируемы что <tex> f_+ </tex> и <tex> f_-</tex> тоже будут измеримы. Также, они неотрицательны.

\int\limits_E <tex> f =(def) \int\limits_E f_+ - \int\limits_E f_- </tex>

Линейность: <tex> \int\limits_E |f| = \int\limits_E f_+ + \int\limits_E f_-|\int\limits_E f | \le \int\limits_E f_+ + \int\limits_E f_- = \int\limits_E |f|</tex>

<tex> \int\limits_E f_{+-} , \int\le |f|. limits_E f_{+-} — суммируема, так как суммируем модуль </tex> уже были определены нами ранее.

Получаем: если {{Определение|definition=<tex> f — </tex> '''суммируема''' на <tex> E </tex>, то |если на нём суммируемы <tex> f_+ </tex> и <tex> f_- </tex>.В этом случае, <tex> \int\limits_E f| — суммируема, то есть в теории Лебега нет условно сходящихся интегралов\underset{\mathrm{def}}= \int\limits_E f_+ - \int\limits_E f_- </tex>.}}

Пример:Интеграл Дирихле: Заметим, что, по линейности <tex> \int\limits_0^{limits_E |f| = \int\limits_E f_+ + \int\limits_E f_- </tex>. Тогда <tex> |\int\limits_E f | \infty} le \frac{int\sin x}{x} limits_E f_+ + \int\limits_E f_- = \frac{int\pi}2 — по Риману, но по Лебегу она не суммируема.limits_E |f| </tex>

Так как <tex> f_{+-} \int\limits_E определен линейной формулойle |f| </tex>, то переносятся \sigma-аддитивность и линейность интеграла. Достаточно их написать для из суммируемости модуля вытекает суммируемость <tex> f_+, </tex> и <tex> f_- и сложить</tex>.

Абсолютная непрерывность:Теорема — пусть Как следствие определения, получаем, что <tex> f — </tex> суммируема на E. Тогда \forall \varepsilon тогда и только тогда, когда <tex> 0 \exists \delta > 0: \mu A < \delta, A \subset E \Rightarrow \left| \int\limits_A f \right| < \varepsilon/tex> суммируема. То есть, в теории Лебега нет условно сходящихся интегралов.

Док-воПример: \left| интеграл Дирихле равен <tex> \int\limits_A f limits_0^{+ \right| infty} \le frac{\intsin x}{x} = \limits_A |f| frac{\Rightarrow pi}2 </tex> по Риману, но по Лебегу он не суммируем.

Так как <tex> \int\limits_E </tex> определен линейной формулой, то на суммируемые функции произвольного знака переносятся также <tex> \sigma </tex>-аддитивность и линейность интеграла. Достаточно рассмотреть неотрицательные функцииих написать для <tex> f_+, f_- </tex> и сложить.

== Абсолютная непрерывность =={{Теорема|about=Абсолютная непрерывность|statement=Пусть <tex> f </tex> — суммируема и неотрицательнана <tex> E </tex>. Тогда <tex> \forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0: \mu A < \delta, A \subset E \Rightarrow \left| \int\limits_E limits_A f \right| < \varepsilon </tex>|proof=< + tex> \left| \int\inftylimits_A f \right| \le \int\limits_A |f| </tex>, то есть, достаточно рассмотреть неотрицательные функции.

\forall \varepsilon \exists хорошее e_{\varepsilon} : <tex> f </tex> — суммируема и неотрицательна. <tex> \int\limits_E f - \int< + \limits_{e_{\varepsilon}} f infty < \varepsilon/tex>.

По определению, для любого <tex> \varepsilon </tex> существует хорошее <tex> e_{\varepsilon} : \int\limits_E f - \int\limits_{e_{\varepsilon}} f < \varepsilon </tex>. Тогда <tex> \overline{e_{\varepsilon}} = E \ setminus {e_{\varepsilon}}</tex>, и по сигма-аддитивности, <tex> \int\limits_E = \int\limits_{e_{\varepsilon}} + \int\limits_{\overline{e_{\varepsilon}}} </tex>.

<tex> \int\limits_E = \int\limits_{mu e_{\varepsilon}} < + \int\limits_{\overline{infty </tex> (так как <tex> e_{\varepsilon}}}</tex> — хорошее).

\mu e_{\varepsilon} < + \infty, tex> |f(x)| \le M_{\varepsilon}</tex> (так как f ограничена).

<tex> \forall B \subset E, \mu B < \infty </tex>;

<tex> B = B \cap E = B \ cap ({e_{\varepsilon}} \cup \overlinee_{\varepsilon}) = (B \cap {e_{\varepsilon}} ) \ cup (B \cap \overline e_{\varepsilon}) = B_1 \cup B_2</tex>.

<tex> \int\limits_B f = \int\limits_{B_1} f + \int\limits_{B_2} f \le \int\limits_{B_1} M_\varepsilon d \mu + \int\limits_{TODO|t=ТУТ КАКОЙ-ТО ТРЕШ В КОНСПЕКТАХ}\overline e_\varepsilon}f \le M_\varepsilon \mu B_1 + \varepsilon \le M_\varepsilon \mu B + \varepsilon</tex>

Итак <tex> \forall B \subset E, \mu B < + \infty</tex>:<tex> \int\limits_B f \le M_{\varepsilon} \mu B + \varepsilon </tex>. Потребуем, чтобы <tex> M_{\varepsilon} \mu B < \varepsilon </tex>. Тогда <tex> \mu B < \frac{\varepsilon}{M_{\varepsilon}} = \delta </tex>. Тогда получается, что для таких <tex> B: \int\limits_B f < 2 \varepsilon </tex>, если <tex> \mu B < \delta = \frac{\varepsilon}{M_{\varepsilon}} </tex>. Подставляем <tex> \frac{\varepsilon}2 = \varepsilon </tex>.}}

\int\limits_B \le M_{\varepsilon} \mu B + \varepsilon. Потребуем, чтобы M_{\varepsilon} \mu B \le \varepsilon. Тогда \mu B \le \frac{\varepsilon}{M_{\varepsilon}} = \delta. Тогда получается, то для таких B \int\limits_B f \le 2 \varepsilon, если \mu B [[Неотрицательные суммируемые функции|<< \delta = \frac{\varepsilon}{M_{\varepsilon}}. Подставляем \frac{\varepsilon}]] [[Классические теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега|>>]][[Категория:Математический анализ 2 = \varepsilon.курс]]