Сходимость по мере — различия между версиями
Sementry (обсуждение | вклад) м (→Единственность предела по мере: недочет в оформлении) |
Sementry (обсуждение | вклад) м (→Единственность предела по мере: баг + опечатка) |
||
Строка 93: | Строка 93: | ||
Заметим, что <tex>P_n \subset (P'_{nk} \cup P''_{nk})</tex>: если <tex>x \notin P'_{nk} \cup P''_{nk}</tex>, то <tex>|f_k(x) - f(x)| < \frac1{2n}</tex> и <tex>|f_k(x) - g(x)| < \frac1{2n}</tex>, а тогда <tex>|f(x) - g(x)| < |f(x) - f_k(x)| + |g(x) - f_k(x)| = \frac1n</tex>, т.е. <tex>x \notin P_n</tex>. | Заметим, что <tex>P_n \subset (P'_{nk} \cup P''_{nk})</tex>: если <tex>x \notin P'_{nk} \cup P''_{nk}</tex>, то <tex>|f_k(x) - f(x)| < \frac1{2n}</tex> и <tex>|f_k(x) - g(x)| < \frac1{2n}</tex>, а тогда <tex>|f(x) - g(x)| < |f(x) - f_k(x)| + |g(x) - f_k(x)| = \frac1n</tex>, т.е. <tex>x \notin P_n</tex>. | ||
− | По полуаддитивности меры <tex>\mu P_n \le \mu P'_{nk} + P''_{nk}</tex>. Сумма в правой части стремится к нулю при <tex>k \rightarrow \infty</tex>, следовательно, <tex>\mu P_n = 0</tex>. | + | По полуаддитивности меры <tex>\mu P_n \le \mu P'_{nk} + \mu P''_{nk}</tex>. Сумма в правой части стремится к нулю при <tex>k \rightarrow \infty</tex>, следовательно, <tex>\mu P_n = 0</tex>. |
+ | |||
+ | Если взять <tex> P_n </tex> такие, что их меры образуют сходящийся ряд, то, поскольку <tex>E(f \neq g) = \bigcup\limits_{n = 1}^\infty P_n</tex>, то <tex>\mu E(f \neq g) \le \sum\limits_{n = 1}^\infty \mu P_n = 0</tex>, что и требовалось доказать. | ||
}} | }} | ||
[[Предельный переход в классе измеримых функций|<<]][[Классические теоремы теории измеримых функций|>>]] | [[Предельный переход в классе измеримых функций|<<]][[Классические теоремы теории измеримых функций|>>]] | ||
[[Категория:Математический анализ 2 курс]] | [[Категория:Математический анализ 2 курс]] |
Версия 23:04, 10 января 2012
Пусть функции
— измеримы на , множества , где , измеримы.
Определение: |
стремятся по мере на к ( ), если |
В определённом смысле, это наиболее слабый вид сходимости, что подтверждает следующая классическая теорема Лебега.
Теорема Лебега
Теорема (Лебег): |
, почти всюду на . Тогда . |
Доказательство: |
Как мы выяснили ранее, удобно рассматривать ; по условию теоремы, .Пусть , тогда , очевидно, содержится в , поэтому, по полноте меры, .
Покажем, что он равен нулю. Или, более общий факт: .Для этого воспользуемся тем, что — конечен.Так как , то (здесь под имеется в виду дополнение до ).— убывающая ( ), значит, дополнения растут: . Значит, .. Значит, . По -аддитивности, .В силу конечности , .Вставляя это в ряд и вспоминая, что ряд — предел частичных сумм, получаем Так как частичная сумма этого ряда с номером — не что иное, как , то ., , отсюда . В нашем случае .
Значит, по определению. |
Продемонстрируем теперь, что условие конечности меры важно:
Утверждение: |
— существенно. |
Рассмотрим функции , .При фиксированном , для всех . Значит, всюду на .Возьмем ,Значит, Значит, , хотя стремится к почти всюду. |
Замечание: даже в случае конечной меры
последовательность функций, сходящаяся по мере, может не иметь предела ни в одной точке.Единственность предела по мере
Теорема: |
Если последовательность измеримых функций стремится по мере к и , то почти всюду на |
Доказательство: |
Определим следующие множества: Заметим, что : если , то и , а тогда , т.е. .По полуаддитивности меры Если взять . Сумма в правой части стремится к нулю при , следовательно, . такие, что их меры образуют сходящийся ряд, то, поскольку , то , что и требовалось доказать. |