1302
правки
Изменения
→Принцип Кавальери(?)
Цель этого параграфа — установить формулу :
<tex> \int\limits_{E \subset \mathbb R^2} f(x_1, x_2) d \lambda_2 - = \int\limits_R f d \lambda_1 \int\limits_{E(x_1)} f(x_1, x_2) d \lambda_2lambda_1 </tex>,
где <tex> E(x_1) </tex> — сечение множества <tex> E </tex> вертикальной прямой, проходящей через точку <tex> x_1</tex> (<tex> E(x_1) = \{ x_2 \in \mathbb R : (x_1, x_2) \in E \} </tex>).
Для некоторых <tex> x_1, E(x_1) = \{ x_2 \int \mathbbR : (x_1, x_2) \in E \} </tex> может быть пусто.
Сейчас мы сформулируем и докажем теорему , истоком которой является принцип «метод неделимых» Кавальери. КАРТИНКА: <tex> S </tex> - площадь.<tex> l </tex> - длина.<tex> S(E_2) = \int\limits_a^b = l(E(x_1)) d x_1 </tex> . Аналог этой формулы был раньшеуже встречался нам в геометрических приложениях определенного интеграла.
{{Теорема
|about = о сечениях
|statement =
Пусть <tex> E \subset \mathbb R^2, \lambda_2 E < + \infty </tex>
Тогда:
# <tex> \forall x_1 \in \mathbb R : E(x_1) </tex> — измеримое множество.
# <tex> \lambda_1(E(x_1)) </tex> — измеримая на <tex> \mathbb R </tex> функция.
# <tex> \lambda_2(E) = \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (E(x_1)) d x_1 </tex>
|proof=
Схема доказательства — такая же, как и с формулой меры подграфика функции — от простого к сложному.
1) <tex> E = [a, b] \times [c, d] </tex>.
<tex> E(x_1) = \begin{cases} [c, d] &, x_1 \in [a, b] \\ \varnothing &, x_1 \notin a, b] \end{cases} </tex> — измеримо.
<tex> \lambda(E(x_1)) = \begin{cases} d - c &, x_1 \in [a, b] \\ 0 &, x_1 \notin [a, b] \end{cases} </tex> — кусочно-постоянная функция на оси, суммируема.
<tex> \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (E(x_1)) d x_1 = (b - a) (d - c) = \lambda_2 E </tex>
Вместо замкнутого прямоугольника можно было рассматривать прямоугольник любого вида, в том числе и ячейку.
2) <tex> G </tex> — открытое множество, <tex> \lambda G < + \infty </tex>.
<tex> G = \bigcup\limits_n \Delta_n (x_1) </tex> , по 1) <tex> \Delta_n (x_1) </tex> — измеримо, а не более, чем счётное объединение измеримых, измеримо.
В силу сигма-аддитивности длины/меры Лебега, <tex> \lambda_1(G(x_1)) = \sum\limits_n \lambda_1 (\Delta_n(x_1)) </tex>.
Каждое слагаемое измеримо, поточечный предел измеримой функции измерим, значит, <tex> \lambda_1 </tex> измеримо по <tex> x_1 </tex>.
<tex> \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1(G(x_1)) dx = </tex> (т. Леви (Но причем тут она? Надо пользоваться сигма-аддитивностью интеграла.)) <tex> \sum\limits_n \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (\Delta_n (x_1)) d x_1 = \sum\limits_n \lambda_2 (\Delta_n) = \lambda_2 (G) </tex>.
3) <tex> E </tex> — множество типа <tex> G_\delta </tex> (не более, чем счётное пересечение открытых множеств).
<tex> E = \bigcap\limits_n G_n </tex> — открытое, <tex> G_{n+1} \subset G_n </tex> (<tex> E </tex> — измеримо).
По сигма-аддитивности, <tex> \lambda_2 E = \lim\limits_{n \to \infty} \lambda_2 (G_n)</tex>. <tex>E(x_1) = \bigcap\limits_n G_n(x_1) </tex> — измеримо для любого <tex> x_1 </tex>.
<tex> \lambda_1 (E(x_1)) = \lim\limits_{n \to \infty} \lambda_1 (G_n(x_1)) </tex> — тоже измеримо(как предел измеримой функции).
По теореме Лебега о мажорируемой сходимости:
<tex> \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (E(x_1)) d x_1 = \lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (G_n(x_1)) d x_1 </tex>.
<tex> \lambda_2 (G_n) \to \lambda_2(E) </tex>
4) <tex> E </tex> — нульмерно.
Представим <tex> E </tex> как пересечение убывающих открытых множеств: <tex> E = \bigcap\limits_n G_n, G_{n + 1} \subset G_n </tex>. Для всех <tex> G_n </tex> теорема уже доказана.
Тогда <tex> E(x1) = \bigcap\limits_n G_n(x) </tex> является пересечением измеримых множеств, значит, оно измеримо.
Множество Лебега <tex> E(f \le a) </tex> функции <tex> f = \lambda_1 (E(x_1)) </tex> тоже будет измеримо при любом <tex> a </tex> как пересечение измеримых множеств: <tex> E(f \le a) = \bigcap\limits_n G_n(f \le a) </tex>.
По теореме Лебега о мажорируемой сходимости (так же, как и в 3), более того, похоже, нульмерное множество - вообще частный случай <tex> G_\delta </tex>), равенство выполняется.
5) <tex> E </tex> — произвольное измеримое множество.
По теореме, которой у нас не было(аналогично теореме про <tex> E = F_\sigma \cup A </tex>), подбираем множество <tex> K </tex> типа <tex> G_\delta </tex> так, чтобы <tex> E \subset K </tex> и <tex> \lambda_2(K \setminus E) = 0 </tex>.
Тогда <tex> E(x_1) = K(x_1) \setminus (K \setminus E)(x_1) </tex>, а почти все сечения множества <tex> K \setminus E </tex>, по пункту 4, имеют меру 0.
Следовательно, сечения <tex> E(x_1) </tex> измеримы и <tex> \lambda_1 E(x_1) = \lambda_1 K(x_1) </tex> для почти всех <tex> x_1 </tex>.
Из этого следует, что <tex> \lambda_1 E(x_1) \sim \lambda_1 K(x_1) </tex>, значит, она тоже измерима.
Наконец, <tex> \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 E (x_1) d x_1 = \int\limits_{\mathbb R} K(x_1) d x_1 = \lambda_2 K = \lambda_2 E </tex>.
}}
{{Лемма
|about=
следствие
|statement=
|proof=
}}
[[Мера подграфика|<<]] [[Математический_анализ_2_курс|>> на главную]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
