1302
правки
Изменения
→Принцип Кавальери(?)
[[Мера подграфика|<<]] [[Математический_анализ_2_курс|>> на главную]]
Цель этого параграфа — установить формулу:
Для некоторых <tex> x_1, E(x_1) </tex> может быть пусто.
== Принцип Кавальери(?) ==
Сейчас мы сформулируем и докажем теорему, истоком которой является «метод неделимых» Кавальери.
<tex> S </tex> - площадь.<tex> l </tex> - длина.
<tex> S(E_2) = \int\limits_a^b l(E(x_1)) d x_1 </tex> . Аналог этой формулы уже встречался нам в геометрических приложениях определенного интеграла.
{{Теорема
|about = о сечениях|statement=
Пусть <tex> E \subset \mathbb R^2, \lambda_2 E < + \infty </tex>
Каждое слагаемое измеримо, поточечный предел измеримой функции измерим, значит, <tex> \lambda_1 </tex> измеримо по <tex> x_1 </tex>.
<tex> \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1(G(x_1)) dx = </tex> (т. Леви(Но причем тут она? Надо пользоваться сигма-аддитивностью интеграла.)) <tex> \sum\limits_n \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (\Delta_n (x_1)) d x_1 = \sum\limits_n \lambda_2 (\Delta_n) = \lambda_2 (G) </tex>.
3) <tex> E </tex> — множество типа <tex> G_\delta </tex> (не более, чем счётное пересечение открытых множеств).
<tex> \lambda_2 (G_n) \to \lambda_2(E) </tex>
5) <tex> E </tex> — произвольное измеримое множество.
По теореме, которой у нас не было(аналогично теореме про <tex> E = F_\sigma \cup A </tex>), подбираем множество <tex> K </tex> типа <tex> G_\delta </tex> так, чтобы <tex> E \subset K </tex> и <tex> \lambda_2(K \setminus E) = 0 </tex>.
Тогда <tex> E(x_1) = K(x_1) \setminus (K \setminus E)(x_1) </tex>, а почти все сечения множества <tex> K \setminus E </tex>, по пункту 4, имеют меру 0.
Следовательно, сечения <tex> E(x_1) </tex> измеримы и <tex> \lambda_1 E(x_1) = \lambda_1 K(x_1) </tex> для почти всех <tex> x_1 </tex>.
Из этого следует, что <tex> \lambda_1 E(x_1) \sim \lambda_1 K(x_1) </tex>, значит, она тоже измерима.
Наконец, <tex> \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 E (x_1) d x_1 = \int\limits_{\mathbb R} K(x_1) d x_1 = \lambda_2 K = \lambda_2 E </tex>.
}}
<tex> G(f) </tex> — измерим. Применяем теорему:
<tex> E = G(f), E(x_1) = [0, f(x_1)] </tex>— измеримое.
По теореме, функция <tex> \lambda_1 E(x_1) </tex> — измеримо измерима и равна <tex> = f(x_1) </tex> — значит. Значит, <tex> f </tex> — измеримая функция.
}}
== Теорема Фубини ==
{{Теорема
<tex> f = f_+ - f_- </tex>, по линейности интеграла достаточно рассмотреть <tex> f \ge 0 </tex>.
Но по этой же теореме, <tex> \lambda_3 G(f) = \{ (x, y, z) : (x, y) \in E, 0 int\le z \le limits_E f(x, y) d\} lambda_2 </tex>. Отсюда получаем требуемое равенство.
(Неформальное доказательство от Н.Ю. Додонова: Соответствующий интеграл по <tex> x, y </tex> есть объем подграфика. Объём мы можем вычислять с помощью принципа Кавальери, создавая сечения плоскостями, параллельными <tex> Oyz </tex> o_O . Проинтегрировав прощадь сечений, получим объём, равный соответствующему интегралу. Вычисление площади кажлого из сечений тоже может делаться с помощью интеграла, воспринимая его, как подграфик функции переменной y при фиксированном x. Отсюда появляется повторный интеграл и само равенство. Осталось записать это формально, базируясь на предыдущих теоремах({{TODO|t=УПРАЖНЕНИЕ!!!}}).
}}
[[Мера подграфика|<<]] [[Математический_анализ_2_курс|>> на главную]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
