Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Расстояние Хэмминга

2589 байт убрано, 02:58, 12 января 2012
→‎Доказательство неравенства треугольника
{{Утверждение
|statement=<tex>~d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y)</tex>
|proof='''Доказательство №1'''
Пусть слова <tex>x</tex> и <tex>y</tex> отличаются в некоторых позициях. Тогда какое бы слово <tex>z</tex> мы ни взяли, оно будет отличаться в каждой из этих позиций по крайне мере от одного из слов <tex>x</tex> и <tex>y</tex>. Следовательно, суммируя в правой части <tex>d(x, z)</tex> и <tex>d(z, y)</tex>, мы обязательно учтем все позиции, в которых различались слова <tex>x</tex> и <tex>y</tex>. Т.е. получается, что <tex>~d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y)</tex>.
 
 
'''Доказательство №2 (с помощью математической индукции)'''
 
I. Все позиции независимы.
 
II. Рассмотрим два варианта, когда <tex>x = y</tex> (1) и <tex>x \ne y</tex> (2):
#Пусть <tex>x = y</tex>, тогда <tex>d = 0</tex> (по свойству №1), так как <tex>d(x,z)</tex> и <tex>d(z,y)</tex> не могут быть меньше нуля, значит их сумма также неотрицательна <tex>(0 \le d(x,z) + d(z,y))</tex>, следовательно, неравенство <tex>~d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y)</tex> выполняется.
#Пусть <tex>x \ne y</tex>.
а) ''База индукции:'' Пусть слова <tex>x</tex> и <tex>y</tex> отличаются в некоторой позиции. Тогда какое бы слово <tex>z</tex> мы не взяли оно будет отличатся хотя бы от одного из слов <tex>x</tex> или <tex>y</tex>. А это означает, что неравенство <tex>~d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y)</tex> выполняется.
 
б) Пусть неравенство <tex>~d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y)</tex> выполняется при <tex>~d(x,y) = k</tex>. <tex>(*)</tex> Докажем, что оно верно для <tex>~d(x,y) = k + 1</tex>. Для <tex>k</tex> позиций из <tex>k + 1</tex> общее количество отличий слова <tex>x</tex> от <tex>z</tex> и слова <tex>y</tex> от <tex>z</tex>, благодаря предположению <tex>(*)</tex>, не меньше, чем количество отличий слова <tex>x</tex> от <tex>y</tex>. Рассмотрим оставшуюся позицию, в которой отличаются слова <tex>x</tex> и <tex>y</tex>. Так как какое бы слово <tex>z</tex> мы не взяли оно, в этой позиции, будет отличатся хотя бы от одного из слов <tex>x</tex> или <tex>y</tex>, то неравенство <tex>~d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y)</tex> для <tex>~d(x,y) = k + 1</tex> выполняется.
 
Индуктивное предположение верно, значит, неравенство <tex>~d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y)</tex> выполняется для любого натурального <tex>k</tex> (<tex>k</tex> {{---}} количество отличий слова <tex>x</tex> от <tex>y</tex>).
}}
 
== См. также ==
Анонимный участник
Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Служебная:Сравнение_версий/16207»

Навигация