Изменения

: если принять в качестве скалярного произведения двух случайных величин ковариацию <tex>\langle \eta, \xi \rangle = Cov (\eta, \xi)</tex>, то квадрат нормы случайной величины будет равен дисперсии <tex> ||\eta||^2 = D [ \eta ], </tex> и Неравенство Коши-Буняковского запишется в виде:

:: <tex>Cov^2(\eta,\xi) \leqslant \mathrm{D}[\eta] \cdot \mathrm{D}[\xi]</tex>.

Запишем неравенство в другом виде:

: <tex>|Cov(\eta, \xi)|\leqslant\sqrt{D[\eta]D[\xi]}</tex>.

Введём в рассмотрение случайную величину <tex>Z_{1}= \sigma_{Y} X- \sigma_{X} Y</tex> (где <tex> \sigma</tex> — среднеквадратическое отклонение) и найдём её дисперсию <tex> D(Z_{1})= M[ Z-m_{Z1}]^2</tex>. Выполнив выкладки получим:

<tex>

D(Z_{1})=2 \sigma^2_{X} \sigma^2_{Y}-2 \sigma_{X} \sigma_{Y}Cov(\eta, \xi).

</tex>

Любая дисперсия неотрицательна, поэтому

<tex>

2 \sigma^2_{X} \sigma^2_{Y}-2 \sigma_{X} \sigma_{Y}Cov(\eta, \xi) \geqslant 0

</tex>

Отсюда

<tex>

Cov(\eta, \xi)\leqslant\mathrm{\sigma}_{X}\mathrm{\sigma}_{Y}.

</tex>

Введя случайную величину <tex> Z_{2}= \sigma_{Y} X+ \sigma_{X} Y</tex>, аналогично

<tex>

Cov(\eta, \xi)\geqslant - \mathrm{\sigma}_{X}\mathrm{\sigma}_{Y}.

</tex>

Объединив полученные неравенства имеем

<tex>

- \mathrm{\sigma}_{X}\mathrm{\sigma}_{Y}\leqslant Cov(\eta, \xi)\leqslant\mathrm{\sigma}_{X}\mathrm{\sigma}_{Y}.

</tex>

Или

<tex>

|Cov(\eta, \xi)|\leqslant\mathrm{\sigma}_{X}\mathrm{\sigma}_{Y}.

</tex>

Итак,

<tex>

|Cov(\eta, \xi)|\leqslant\sqrt{D[\eta]D[\xi]}.

</tex>

А значит, верно и исходное неравенство:

<tex>Cov^2(\eta,\xi) \leqslant \mathrm{D}[\eta] \cdot \mathrm{D}[\xi]</tex>

== Ссылки ==