234
правки
Изменения
Нет описания правки
В регулярной Марковской цепи из любого состояния можно попасть в любое другое за некоторое число ходов.
== Лемма ==
<tex>am_0 + (1 - a)M_0 = M_0 - a(M_0 - m_0)</tex>, где а - элемент P, который домножается на <tex>m_0</tex>, причем <tex>a \geqslant \varepsilon</tex>. Поэтому наше выражение не превосходит <tex>M_0 - \varepsilon(M_0 - m_0)</tex>. Отсюда и из неравенства <tex>x \leqslant x'</tex> получается: <tex>M_1 \leqslant M_0 - \varepsilon (M_0 - m_0)</tex>.
Применяя те же рассуждения для вектора -х, получим: <tex>-m_1 \leqslant -m_0 - \varepsilon (-m_0 + M_0)</tex>. Складывая эти два неравенства, получаем <tex>M_1 - m_1 \leqslant M_0 - m_0 - 2\varepsilon (M_0 - m_0) = (1 - 2\varepsilon )(M_0 - m_0)</tex>, ч.т.д. == Основная теорема регулярных цепей == {{Теорема|statement=Пусть Р - регулярная переходная матрица. Тогда:<br><tex>\exists A: \displaystyle \lim_{n \to \infty}P^n = A</tex><br>;каждая строка А представляет собой один и тот же вероятностный вектор <tex>\alpha = \{a_1, a_2, \ldots, a_n \}</tex>}} Доказательство: Рассмотрим вектор-столбец <tex>\rho _j</tex>, у которого j-й элемент равен 1, а все остальные равны 0. Пусть <tex>M_n</tex> и <tex>m_n</tex> - минимальный и максимальный элементы столбца <tex>P^n \rho _j</tex>. Так как <tex>P^n \rho _j = P \cdot P^{n-1} \rho _j</tex>, то из леммы следует, что <tex>M_1 \geqslant M_2 \geqslant \ldots</tex> и <tex>m_1 \leqslant m_2 \leqslant \ldots</tex> и <tex>M_n - m_n \leqslant (1 - 2\varepsilon )(M_{n-1} - m_{n-1})</tex>. Пусть <tex>d_n = M_n - m_n</tex>, тогда <tex>d_n \leqslant (1 - 2 \varepsilon )^n d_0 = (1 - 2 \varepsilon)^n \to 0</tex>. Значит <tex>P^n \rho _j</tex> сходится к вектору, все элементы которого равны между собой. Пусть <tex>a_j</tex> - их общее значение. Тогда <tex>0 \leqslant a_j \leqslant 1</tex>. Заметим, что <tex>P^n \rho _j</tex> - j-тый столбец матрицы <tex>P^n</tex>. Рассмотрим все <tex>\rho _j</tex> для <tex>j = 1, 2, \ldots</tex>. Тогда <tex>P^n</tex> сходится к матрице А, у которой по строкам стоит один и тот же вектор <tex>\alpha = \{a_1, a_2, \ldots, a_n \}</tex>.Так как в каждой матрице <tex>P^n</tex> сумма элементов в строке равна 1, то то же самое справедливо и для предельной матрицы А. Теорема доказана.
== Литература ==
Дж. Кемени, Дж. Снелл "Конечные цепи Маркова", стр 93
