Регулярная марковская цепь

Регулярная цепь Маркова

Определение:

Марковская цепь называется регулярной (нормальной), если в матрице перехода P [math]\forall i,j \ \ p_{ij} \neq 0[/math].

В регулярной Марковской цепи из любого состояния можно попасть в любое другое за некоторое число ходов.

Лемма

Лемма:

Пусть [math]P_{[r\times r]}[/math] — матрица перехода регулярной цепи, [math]\varepsilon[/math] — минимальный элемент этой матрицы. Пусть х — произвольный r-мерный вектор-столбец, имеющий максимальный элемент [math]M_0[/math] и минимальный [math]m_0[/math]. Пусть [math]M_1[/math] и [math]m_1[/math] - максимальный и минимальный элементы [math]Px[/math]. Тогда [math]M_1 \leqslant M_0[/math], [math]m_1 \geqslant m_0[/math] и [math]M_1 - m_1 \leqslant (1 - 2\varepsilon)(M_0 - m_0)[/math]

Доказательство:

Пусть х' - вектор, полученный из х заменой всех элементов, кроме [math]m_0[/math] на [math]M_0[/math]. Тогда [math]x \leqslant x'[/math]. Каждый элемент [math]Px'[/math] имеет вид

[math]am_0 + (1 - a)M_0 = M_0 - a(M_0 - m_0)[/math], где а - элемент P, который домножается на [math]m_0[/math], причем [math]a \geqslant \varepsilon[/math]. Поэтому наше выражение не превосходит [math]M_0 - \varepsilon(M_0 - m_0)[/math]. Отсюда и из неравенства [math]x \leqslant x'[/math] получается: [math]M_1 \leqslant M_0 - \varepsilon (M_0 - m_0)[/math].

Применяя те же рассуждения для вектора -х, получим: [math]-m_1 \leqslant -m_0 - \varepsilon (-m_0 + M_0)[/math].

Складывая эти два неравенства, получаем [math]M_1 - m_1 \leqslant M_0 - m_0 - 2\varepsilon (M_0 - m_0) = (1 - 2\varepsilon )(M_0 - m_0)[/math], ч.т.д.

Основная теорема регулярных цепей

Теорема:

Пусть Р - регулярная переходная матрица. Тогда: [math]\exists A: \displaystyle \lim_{n \to \infty}P^n = A[/math]; каждая строка А представляет собой один и тот же вероятностный вектор [math]\alpha = \{a_1, a_2, \ldots, a_n \}[/math]

Доказательство:

Рассмотрим вектор-столбец [math]\rho _j[/math], у которого j-й элемент равен 1, а все остальные равны 0. Пусть [math]M_n[/math] и [math]m_n[/math] - минимальный и максимальный элементы столбца [math]P^n \rho _j[/math]. Так как [math]P^n \rho _j = P \cdot P^{n-1} \rho _j[/math], то из леммы следует, что [math]M_1 \geqslant M_2 \geqslant \ldots[/math] и [math]m_1 \leqslant m_2 \leqslant \ldots[/math] и

[math]M_n - m_n \leqslant (1 - 2\varepsilon )(M_{n-1} - m_{n-1})[/math]. Пусть [math]d_n = M_n - m_n[/math], тогда

[math]d_n \leqslant (1 - 2 \varepsilon )^n d_0 = (1 - 2 \varepsilon)^n \to 0[/math].

Значит [math]P^n \rho _j[/math] сходится к вектору, все элементы которого равны между собой. Пусть [math]a_j[/math] - их общее значение. Тогда [math]0 \leqslant a_j \leqslant 1[/math]. Заметим, что [math]P^n \rho _j[/math] - j-тый столбец матрицы [math]P^n[/math]. Рассмотрим все [math]\rho _j[/math] для [math]j = 1, 2, \ldots[/math]. Тогда [math]P^n[/math] сходится к матрице А, у которой по строкам стоит один и тот же вектор [math]\alpha = \{a_1, a_2, \ldots, a_n \}[/math]. Так как в каждой матрице [math]P^n[/math] сумма элементов в строке равна 1, то то же самое справедливо и для предельной матрицы А. Теорема доказана.

Следствие из теоремы

Теорема:

Пусть [math]P, A, \alpha[/math] - объекты из предыдущей теоремы. Тогда справедливы факты: для любого вероятностного вектора [math]\pi \ \ \ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \pi P^n = \alpha[/math] [math]\alpha[/math] - единственный вектор, для которого [math]\alpha P = \alpha[/math] [math]AP = PA = A[/math]

Доказательство:

Пусть [math]\xi[/math] - вектор-столбец, состоящий из единиц.

• [math]\pi[/math] - вероятностный вектор, значит [math]\pi \xi = 1[/math](сумма его элементов равна 1), значит [math]\pi A = \pi \xi \alpha = \alpha[/math]. Но [math]\displaystyle \lim_{n \to \infty} \pi P^n = \pi A = \alpha[/math] - первый пункт доказан.
• Пусть [math]\beta : \ \ \beta P = \beta[/math]. Тогда [math]\forall n \ \beta P^n = beta \Rightarrow \beta = \beta A = \alpha[/math]. Второй пункт доказан.
• [math]\displaystyle \lim_{n \to \infty} P^n = A \Leftrightarrow P \cdot \lim_{n \to \infty} P^n = A \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} P^n \cdot P = A[/math]

Литература

Дж. Кемени, Дж. Снелл "Конечные цепи Маркова", стр 93