Цепные дроби как приближение к числу — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Доказательство)
(Доказательство)
Строка 5: Строка 5:
 
Для любого иррационального числа <math>\alpha</math> существует бесконечное число дробей <math>\frac{P}{Q}</math> таких, что <math>~|\alpha-\frac{P}{Q}|<\frac{1}{2Q^2}</math>
 
Для любого иррационального числа <math>\alpha</math> существует бесконечное число дробей <math>\frac{P}{Q}</math> таких, что <math>~|\alpha-\frac{P}{Q}|<\frac{1}{2Q^2}</math>
 
===Доказательство===
 
===Доказательство===
Рассмотрим две последующие подходящие дроби к <math>\alpha : \frac{P_k}{Q_k} </math> и <math> \frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}</math>
+
Рассмотрим две последующие подходящие дроби к <math>\alpha : \frac{P_k}{Q_k} </math> и <math> \frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}</math>. Пусть ни одна из них не удовлетворяет условию теоремы. Тогда имеем: <math>~|\alpha-\frac{P_k}{Q_k}|>=\frac{1}{2Q_k^2}, ~|\alpha-\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}| >=\frac{1}{2Q_k^2}</math>
  
 
==Теорема 3==
 
==Теорема 3==

Версия 22:28, 20 июня 2010

Цепные дроби позволяют находить рациональные приближения вещественных чисел. Если действительное иррациональное число [math]\alpha[/math] разложить в цепную дробь, то точность n-ой подходящей дроби будет соответствовать следующему неравенству: [math]~|\alpha-\frac{P_i}{Q_i}| \lt \frac{1}{Q_i * Q_{i+1}} \lt \frac{1}{Q_i^2}[/math]

Теорема 1

Теорема 2

Для любого иррационального числа [math]\alpha[/math] существует бесконечное число дробей [math]\frac{P}{Q}[/math] таких, что [math]~|\alpha-\frac{P}{Q}|\lt \frac{1}{2Q^2}[/math]

Доказательство

Рассмотрим две последующие подходящие дроби к [math]\alpha : \frac{P_k}{Q_k} [/math] и [math] \frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}[/math]. Пусть ни одна из них не удовлетворяет условию теоремы. Тогда имеем: [math]~|\alpha-\frac{P_k}{Q_k}|\gt =\frac{1}{2Q_k^2}, ~|\alpha-\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}}| \gt =\frac{1}{2Q_k^2}[/math]

Теорема 3

Для любого иррационального числа [math]\alpha[/math] существует бесконечное число дробей [math]\frac{P}{Q}[/math] таких, что [math]~|\alpha-\frac{P}{Q}|\lt \frac{1}{\sqrt{5}Q^2}[/math]

Теорема 4