234
правки
Изменения
Нет описания правки
== Регулярная цепь Маркова ==
{{Определение
|definition=[[Марковская цепь |Марковская цепь]] называется регулярной (нормальной), если в матрице перехода P <tex>\forall i,j \ \ p_{ij} \neq 0</tex>.
}}
{{Теорема
|statement=Регулярная марковская цепь [[Эргодическая марковская цепь|эргодична]]. Другими словами:<br>
Пусть Р - регулярная переходная матрица. Тогда:<br>
<tex>\exists A: \displaystyle \lim_{n \to \infty}P^n = A</tex>;<br>
каждая строка А представляет собой один и тот же вероятностный вектор <tex>\alpha = \{a_1, a_2, \ldots, a_r \}</tex>
|proof=
Рассмотрим вектор-столбец <tex>\rho _je_j</tex>, у которого j-й элемент равен 1, а все остальные равны 0. Пусть <tex>M_n</tex> и <tex>m_n</tex> - минимальный и максимальный элементы столбца <tex>P^n \rho _je_j</tex>. Так как <tex>P^n \rho _j e_j = P \cdot P^{n-1} \rho _je_j</tex>, то из леммы следует, что <tex>M_1 \geqslant M_2 \geqslant \ldots</tex> и <tex>m_1 \leqslant m_2 \leqslant \ldots</tex> и
<tex>M_n - m_n \leqslant (1 - 2\varepsilon )(M_{n-1} - m_{n-1})</tex>. Пусть <tex>d_n = M_n - m_n</tex>, тогда
<tex>d_n \leqslant (1 - 2 \varepsilon )^n d_0 = (1 - 2 \varepsilon)^n \to 0</tex>.
Значит <tex>P^n \rho _je_j</tex> сходится к вектору, все элементы которого равны между собой. Пусть <tex>a_j</tex> - их общее значение. Тогда <tex>0 \leqslant a_j \leqslant 1</tex>. Заметим, что <tex>P^n \rho _je_j</tex> - j-тый столбец матрицы <tex>P^n</tex>. Рассмотрим все <tex>\rho _je_j</tex> для <tex>j = 1, 2, \ldots</tex>. Тогда <tex>P^n</tex> сходится к матрице А, у которой по строкам стоит один и тот же вектор <tex>\alpha = \{a_1, a_2, \ldots, a_r \}</tex>.
Так как в каждой матрице <tex>P^n</tex> сумма элементов в строке равна 1, то то же самое справедливо и для предельной матрицы А. Теорема доказана.
}}
}}
Таким образом у регулярных цепей есть свойство: через достаточно большое количество ходов будет существовать постоянная вероятность нахождения цепи в состоянии <tex>s_i</tex>, и эта вероятность не зависит от началоного начального распределения, а зависит только от матрицы P. == Пример ==[[File:Temp.gif|thumb|250px|Пример регулярной цепи]]Самый очевидный пример регулярной цепи - честная монета. Матрица переходов будет выглядеть так: <tex>P = \begin{bmatrix}0.5 & 0.5 \\0.5 & 0.5 \end{bmatrix}</tex> Тогда <tex>\forall n \ \ P^n = P = A,\ \alpha = \{ 0.5, 0.5 \}</tex>То есть через достаточно большое количество ходов наша система будет ''равновероятно'' находится как в состоянии "1", так и в состоянии "0", независимо от начального распределения.
== Литература ==
