338
правок
Изменения
Нет описания правки
Теорема
|about=о поглощении
|statement=Если цепь [[Расчет вероятности поглощения в состоянии|поглощающая]], то с вероятностью, равной 1, она перейдет в поглощающее состояние.
|proof=
Пусть <tex>P</tex> - [[Марковская цепь|матрица переходов]], где элемент <tex>p_{ij}</tex> равен вероятности перехода из <tex>i</tex>-го состояния в <tex>j</tex>-ое. Она будет выглядеть как матрица из 4-х блоков, где <tex>Q</tex> - несущественные непоглощающие состояния, а <tex>R</tex> и <tex>I</tex> - существенные поглощающие (т.к. цепь поглощающая, то из любого несущественного непоглощающего можно попасть в существенноепоглощающее). <tex>I</tex> - единичная матрица.
\end{pmatrix}</tex> .
Произведение единичной матрицы на саму себя есть единичная матрица (<tex>I \times I = I</tex>); <tex>X</tex> - некоторые значения (не важны для доказательства теоремы, т.к. чтобы доказать теорему достаточно доказать, что несущественные непоглощающие состояния стремятся к 0).
Продолжив вычисления, получим, что <tex>P^n</tex> имеет такой вид: <tex>\begin{pmatrix}
Тогда получаем: <tex>\sum_{j} {Q^m_{ij}}\leqslant p</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\sum_{j} {Q^{mk}_{ij}}\leqslant p^k\xrightarrow{k\xrightarrow{}+\infty}0</tex>
В итоге получаем, что несущественные непоглощающие состояния стремятся к <tex>0</tex>, а значит существенные поглощающие в итоге приходят к <tex>1</tex>, т.е. цепь приходит в поглощающее состояние.
}}
[[Категория: Марковские цепи ]]
