M-сводимость

Определение:

Множество [math]A[/math] m-сводится ко множеству [math]B[/math], если существует всюду определённая вычислимая функция [math]f : x\in A\Leftrightarrow f(x)\in B[/math], то есть [math]f(A) \subset B[/math] и [math]f(\overline{A}) \subset \overline{B}[/math]. Обозначение: [math]A\le_{m}B[/math].

Определение:

[math]A[/math] m-эквивалентно [math]B[/math], если [math]A\le_{m}B[/math] и [math]B\le_{m}A[/math]. Обозначение: [math]A\equiv_{m}B[/math].

Свойства

1. [math]A\le_{m}A[/math].
   • Доказательство: [math]f(x)=x[/math].
2. Если [math]A\le_{m}B[/math] и [math]B[/math] разрешимо, то [math]A[/math] разрешимо.
   • Доказательство: Пусть [math]p[/math] — программа-разрешитель для [math]B[/math]. Тогда для любого [math]x\in A[/math] разрешитель должен вернуть значение [math]p(f(x))[/math].
3. Если [math]A\le_{m}B[/math] и [math]B[/math] перечислимо, то [math]A[/math] перечислимо.
   • Доказательство: Аналогично предыдущему свойству.
4. Если [math]A\le_{m}B[/math] и [math]B\le_{m}C[/math], то [math]A\le_{m}C[/math].
   • Доказательство: Если [math]f:A\to B[/math] и [math]g:B\to C[/math], то m-сводящая функция [math]h:A\to C[/math] выглядит так [math]h(x) = g(f(x))[/math].

Применение

Лемма:

Если [math]A\le_{m}B[/math] и [math]A[/math] неразрешимо, то [math]B[/math] неразрешимо.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Следует из второго свойства.

[math]\triangleleft[/math]

Приведённая лемма позволяет доказывать алгоритмическую неразрешимость некоторой задачи, сводя к ней (а не наоборот!) другую, неразрешимость которой уже доказана.

Например:

• неразрешимость проблемы соответствий Поста.

Литература

• Верещагин Н., Шень А. — Вычислимые функции, 2-е изд. МЦНМО, 2002. ISBN 5-900916-36-7
• P. Odifreddi — Classical recursion theory. Elsivier, 1992. ISBN 0-444-87295-7