Автоматы с магазинной памятью

Недетерминированный автомат с магазинной памятью

Рис. 1. Автомат с магазинной памятью

На рис. 1 изображен автомат с магазинной памятью (автомат со стеком, pushdown automaton). С ленты последовательно считываются символы входного алфавита ([math]c_i[/math] — текущий считываемый символ). Символ [math]x[/math] снимается с вершины стека. Вместо него помещается строка [math]\alpha[/math] таким образом, чтобы первый символ строки находился на вершине стека.

Обычно под автоматом со стеком подразумевается недетерминированный автомат. Заметим, что недетерминированные автоматы со стеком эквивалентны по выразительной мощности контекстно свободным грамматикам. Если речь пойдет о детерминированном автомате, это будет указано отдельно. Заметим также, что детерминированные и недетерминированные автоматы со стеком неэквивалентны.

Определение:

Автомат с магазинной памятью (автомат со стеком, pushdown automaton) — это набор [math]A=\langle\Sigma,\Gamma,Q,s\in Q, T \subset Q, z_0 \in \Gamma, \delta : Q \times \Sigma \cup \{\varepsilon\} \times \Gamma \rightarrow \cal P[/math][math](Q \times \Gamma^*)\rangle[/math], где [math]\Sigma[/math] — входной алфавит на ленте; [math]\Gamma[/math] — стековый алфавит; [math]Q[/math] — множество состояний автомата; [math]s[/math] — стартовое состояние автомата; [math]T[/math] — множество допускающих состояний автомата; [math]z_0[/math] — маркер дна стека; [math]\delta[/math] — функция переходов.

Диаграммы переходов

Рис. 2. Переход: с — символ, прочитанный с ленты; A — символ, вынутый из стека; [math]\alpha[/math] — строка, помещаемая в стек.

Рис. 3. Переход по любому стековому символу, он же возвращается в стек.

Рис. 4. Переход по любому стековому символу, в стек кладется пустая строка.

По соглашению маркер дна всегда находится на дне (за исключением случая, когда автомат является автоматом с допуском по пустому стеку). То есть, для [math]\mathcal8 q \in Q,\mathcal8 c \in \Sigma \cup \{\varepsilon\} \Rightarrow \delta(q, c, z_0) \ni \langle p, \alpha \rangle [/math], где [math]p \in Q, \alpha \in \Gamma^*, \alpha = \alpha_1z_0[/math].

Основные определения

Определение:

Мгновенное описание — это набор [math]\langle q, \alpha, \gamma \rangle[/math], где [math]q[/math] — текущее состояние, [math]\alpha[/math] — остаток строки, [math]\gamma[/math] — содержимое стека.

Определение:

Переход за один шаг обозначается как [math]\langle q, \alpha, \gamma \rangle \vdash \langle r, \beta, \xi \rangle[/math], где [math]\alpha = c\beta[/math] (возможно, [math]c=\varepsilon[/math]), [math]\gamma = \chi\gamma', \xi = \eta\gamma'[/math], [math]\langle r, \eta \rangle \in \delta(q, c, \chi)[/math].

Определение:

Язык автомата с магазинной памятью [math]L(A)=\{\alpha \mid \langle s, \alpha, z_0\rangle \vdash^* \langle t, \varepsilon, \gamma \rangle, t \in T\}[/math].

Пример недетерминированного МП-автомата

На рис. 5 приведен пример недетерминированного автомата с магазинной памятью для языка [math]0^n1^n[/math].

Рис. 5. Недетерминированный МП-автомат для языка [math]0^n1^n[/math].

Детерминированный автомат с магазинной памятью

Определение:

Если для автомата с магазинной памятью выполняются следующие условия: [math]\mathcal8 q \in Q, \mathcal8 c \in \Sigma \cup \{ \varepsilon \}, \mathcal8 \chi \in \Gamma \Rightarrow \left | \delta(q, c, \chi)\right | \le 1[/math]; [math]\delta(q,\varepsilon,\chi) \ne 0 \Rightarrow \mathcal8 c \in \Sigma : \delta(q, c, \chi) = \varnothing[/math], то поведение автомата всегда определено однозначно, и он называется детерминированным автоматом с магазинной памятью.

Изменим автомат для языка [math]0^n1^n[/math] из приведенного выше примера так, чтобы он стал детерминированным:

Рис. 6. Детерминированный автомат с магазинной памятью для языка [math]0^n1^n[/math].

Источники

• Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д. Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд.. : Пер. с англ. — М. : Издательский дом "Вильямс", 2002.