Минимизация ДКА, алгоритм Хопкрофта (сложность O(n log n)) — различия между версиями
(→Литература) |
|||
Строка 3: | Строка 3: | ||
= Минимизация ДКА = | = Минимизация ДКА = | ||
− | Понятие [[ Эквивалентность_состояний_ДКА | эквивалентности состояний]] позволяет объединить состояния в | + | Понятие [[ Эквивалентность_состояний_ДКА | эквивалентности состояний]] позволяет объединить состояния в классы следующим образом. |
− | # Все состояния в | + | # Все состояния в классе эквивалентны. |
− | # Любые два состояния, выбранные из разных | + | # Любые два состояния, выбранные из разных класов, неэквивалентны. |
− | Таким образом, основная идея минимизации ДКА состоит в разбиении множества состояний на | + | Таким образом, основная идея минимизации ДКА состоит в разбиении множества состояний на классы эквивалентности. |
===Пример минимизации ДКА=== | ===Пример минимизации ДКА=== | ||
[[Изображение:Automaton1.png]][[Изображение:Automaton2.png]] | [[Изображение:Automaton1.png]][[Изображение:Automaton2.png]] | ||
− | Первый | + | Первый класс состоит из состояния <tex>A</tex>, а второй из эквивалентных состояний <tex>B</tex> и <tex>C</tex>. |
= Алгоритм = | = Алгоритм = | ||
Алгоритм итеративно строит разбиение множества состояний следующим образом. | Алгоритм итеративно строит разбиение множества состояний следующим образом. | ||
Строка 29: | Строка 29: | ||
<tex>W \leftarrow \{ F, Q \setminus F \}</tex> | <tex>W \leftarrow \{ F, Q \setminus F \}</tex> | ||
<tex>P \leftarrow \{ F, Q \setminus F \}</tex> | <tex>P \leftarrow \{ F, Q \setminus F \}</tex> | ||
− | while not | + | while not <tex>W</tex>.isEmpty() |
<tex>W</tex>.pop(<tex>S</tex>) | <tex>W</tex>.pop(<tex>S</tex>) | ||
for all <tex>a \in \Sigma</tex> | for all <tex>a \in \Sigma</tex> | ||
Строка 35: | Строка 35: | ||
<tex>R_1 = R \cap \delta^{-1} (S, a) </tex> | <tex>R_1 = R \cap \delta^{-1} (S, a) </tex> | ||
<tex>R_2 = R \setminus R_1</tex> | <tex>R_2 = R \setminus R_1</tex> | ||
− | if <tex> |R_1| \ne 0</tex> | + | if <tex> |R_1| \ne 0</tex> and <tex>|R_2| \ne 0</tex> |
replace <tex>R</tex> in <tex>P</tex> with <tex>R_1</tex> and <tex>R_2</tex> | replace <tex>R</tex> in <tex>P</tex> with <tex>R_1</tex> and <tex>R_2</tex> | ||
if <tex> |R_1| \le |R_2|</tex> | if <tex> |R_1| \le |R_2|</tex> |
Версия 20:14, 23 января 2012
Содержание
Постановка задачи
Пусть дан автомат, распознающий определенный язык. Требуется найти эквивалентный автомат с наименьшим количеством состояний.
Минимизация ДКА
Понятие эквивалентности состояний позволяет объединить состояния в классы следующим образом.
- Все состояния в классе эквивалентны.
- Любые два состояния, выбранные из разных класов, неэквивалентны.
Таким образом, основная идея минимизации ДКА состоит в разбиении множества состояний на классы эквивалентности.
Пример минимизации ДКА
Первый класс состоит из состояния
, а второй из эквивалентных состояний и .Алгоритм
Алгоритм итеративно строит разбиение множества состояний следующим образом.
- Первоначальное разбиение множества состояний — класс допускающих состояний и класс недопускающих состояний.
- Алгоритм помещает оба эти класса в очередь.
- Из очереди извлекается класс, далее именуемый как сплиттер.
- Перебираются все символы из алфавита , где — текущий символ.
- Все классы текущего разбиения разбиваются на 2 подкласса (один из которых может быть пустым). Первый состоит из состояний, которые по символу переходят в сплиттер, а второй из всех оставшихся.
- Те классы, которые разбились на два непустых подкласса, заменяются этими подклассами в разбиении, а также меньший из двух подклассов добавляется в очередь.
- Пока очередь не пуста, алгоритм выполняет п.3 – п.6.
Псевдокод
— множество состояний ДКА. — множество терминальных состояний. — очередь. — разбиение множества состояний ДКА. — класс состояний ДКА.
while not .isEmpty() .pop( ) for all for all in if and replace in with and if .push( ) else .push( )
Время работы алгоритма
Благодаря системе добавления классов состояний в очередь, каждое ребро будет рассмотрено не более чем
раз. А так как ребер у нас порядка то получаемЛитература
- Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д. Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2002. — С. 177 — ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)
- J. E. Hopcroft. An n log n algorithm for minimizing states in a finite automaton. Technical Report CS-71-190, Stanford University, January 1971.