Лемма о разрастании для КС-грамматик

Лемма (о разрастании КС-грамматик):

Пусть [math]L[/math] — контекстно-свободный язык над алфавитом [math]\Sigma[/math], тогда существует такое [math]n[/math], что для любого слова [math] \omega \in L[/math] длины не меньше [math]n[/math] найдутся слова [math] u,v,x,y,z \in \Sigma^*[/math], для которых верно: [math]uvxyz=\omega, vy\neq \varepsilon, |vxy|\leqslant n[/math] и [math]\forall k \geqslant 0~uv^{k}xy^{k}z\in L[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]L[/math] — контекстно-свободный язык над алфавитом [math]\Sigma[/math]. Тогда его грамматика может быть записана в нормальной форме Хомского (НФХ). Пусть [math]m[/math] — количество нетерминалов в полученной грамматике. Выберем [math]n=2^{m+1}[/math]. Построим дерево разбора произвольного слова [math]\omega[/math] длиной больше, чем [math]n[/math]. Так как из одного нетерминала выводится либо два нетерминала, либо терминальный символ, то дерево разбора [math]\omega[/math] будет бинарным, причем его высота не меньше [math]m+1[/math]. Рассмотрим самый длинный путь от вершины, соответствующей стартовому нетерминалу,до листа. В нем будет не менее [math]m+1[/math] узлов, соответствующих нетерминалам. Следовательно, по принципу Дирихле найдется такой нетерминал [math]A[/math], который раскрывается в дереве разбора на этом пути дважды. Если таких путей и, следовательно, нетерминалов несколько, то выберем нетерминал максимальной глубины, у которого в поддереве содержится такой же нетерминал. Тогда в качестве [math]x[/math] выберем кратчайшую строку из терминалов, которая выводится из [math]A[/math]. Далее рассмотрим путь от предпоследнего повторения нетерминала [math] A[/math] до последнего его вхождения в дерево. Если из вершины был сделан переход в левое поддерево, то строка, выведенная из правого поддерева, будет частью [math]y[/math]. Аналогично из левых поддеревьев получаем [math]v[/math]. Так как грамматика записана в НФХ, то либо [math]v[/math], либо [math]y[/math] не будет пустой строкой, то есть условие [math]|vy|\gt 0[/math] выполнено. Таким образом, [math]S \Rightarrow^{*} uAz \Rightarrow^{*} uvAyz \Rightarrow^{*} uvvAyyz \Rightarrow^{*} uv^{k}Ay^{k}z \Rightarrow^{*} uv^{k}xy^{k}z[/math].

[math]\triangleleft[/math]