Алгоритм Форда-Фалкерсона, реализация с помощью поиска в глубину

Алгоритм Форда-Фалкерсона — алгоритм, решающий задачу нахождения максимального потока в транспортной сети.

Идея

Идея алгоритма заключается в следующем. Изначально величине потока присваивается значение 0: [math] f(u,v) = 0 [/math] для всех [math] u, v [/math] из [math] V [/math]. Затем величина потока итеративно увеличивается посредством поиска увеличивающего пути (путь от источника s к стоку t, вдоль которого можно послать ненулевой поток). В данной статье рассматривается алгоритм, осуществляющий этот поиск с помощью обхода в глубину (dfs). Процесс повторяется, пока можно найти увеличивающий путь.

Реализация

dfs(u, Cmin) {
   if (u = t)
       return Cmin
   u.vis <- true
   for (uv in E)
       if (!v.vis) && (uv.f < uv.c)
           дельта <- dfs(v, min(Cmin, uv.c - uv.f))
           if (дельта > 0) {
               uv.f += дельта
               uv.backEdge.f -= дельта
               return дельта
           }
   return 0
}

Оценка производительности

Добавляя поток увеличивающего пути к уже имеющемуся потоку, максимальный поток будет получен, когда нельзя будет найти увеличивающий путь. Тем не менее, если величина пропускной способности — иррациональное число, то алгоритм может работать бесконечно. В целых числах таких проблем не возникает и время работы ограничено [math]O(E|f|)[/math], где [math]E[/math] — число рёбер в графе, [math]f[/math] — максимальный поток в графе, так как каждый увеличивающий путь может быть найден за [math]O(E)[/math] и увеличивает поток как минимум на 1.

Пример несходящегося алгоритма

рис. 1

Рассмотрим приведённую справа сеть, с источником [math]\ s[/math], стоком [math]\ t[/math], пропускными способностями рёбер [math]\ e_1[/math], [math]\ e_2[/math] и [math]\ e_3[/math] соответственно [math]\ 1[/math], [math]r=(\sqrt{5}-1)/2[/math] и [math]\ 1[/math] и пропускной способностью всех остальных рёбер, равной целому числу [math]M \ge 2[/math]. Константа [math]\ r[/math] выбрана так, что [math]\ r^2 = 1 - r[/math]. Мы используем пути из остаточного графа, приведённые в таблице, причём [math]\ p_1 = \{ s, v_4, v_3, v_2, v_1, t \}[/math], [math]\ p_2 = \{ s, v_2, v_3, v_4, t \}[/math] и [math]\ p_3 = \{ s, v_1, v_2, v_3, t \}[/math].

Шаг	Найденный путь	Добавленный поток	Остаточные пропускные способности
			[math]e_1[/math]	[math]e_2[/math]	[math]e_3[/math]
0	[math]-[/math]	[math]-[/math]	[math]r^0=1[/math]	[math]r[/math]	[math]1[/math]
1	[math]\{ s, v_2, v_3, t \}[/math]	[math]1[/math]	[math]r^0[/math]	[math]r^1[/math]	[math]0[/math]
2	[math]p_1[/math]	[math]r^1[/math]	[math]r^2[/math]	[math]0[/math]	[math]r^1[/math]
3	[math]p_2[/math]	[math]r^1[/math]	[math]r^2[/math]	[math]r^1[/math]	[math]0[/math]
4	[math]p_1[/math]	[math]r^2[/math]	[math]0[/math]	[math]r^3[/math]	[math]r^2[/math]
5	[math]p_3[/math]	[math]r^2[/math]	[math]r^2[/math]	[math]r^3[/math]	[math]0[/math]

Заметим, что после шага 1, как и после шага 5, остаточные способности рёбер [math]e_1[/math], [math]e_2[/math] и [math]e_3[/math] имеют форму [math]r^n[/math], [math]r^{n+1}[/math] и [math]0[/math], соответственно, для какого-то натурального [math]n[/math]. Это значит, что мы можем использовать увеличивающие пути [math]p_1[/math], [math]p_2[/math], [math]p_1[/math] и [math]p_3[/math] бесконечно много раз, и остаточные пропускные способности этих рёбер всегда будут в той же форме. Полный поток после шага 5 равен [math]1 + 2(r^1 + r^2)[/math]. За бесконечное время полный поток сойдётся к [math]\textstyle 1 + 2\sum_{i=1}^\infty r^i = 3 + 2r[/math], тогда как максимальный поток равен [math]2M + 1[/math]. Таким образом, алгоритм не только работает бесконечно долго, но даже и не сходится к оптимальному решению.

Пример медленной работы алгоритма Форда-Фалкерсона с использованием поиска в глубину по сравнению с реализацией, использующей поиск в ширину

При использовании поиска в ширину алгоритму потребуется всего лишь 2 шага. Дана сеть (рис. 2).

рис. 2

Благодаря двум итерациям (рис. 3 и рис. 4)

рис. 3

рис. 4

рёбра [math]AB, AC, BD, CD[/math] насытились лишь на 1. Конечная сеть будет получена ещё через 1998 итераций (рис. 5).

рис. 5

См. также

• Теорема Форда-Фалкерсона

Литература

• Википедия: Алгоритм Форда — Фалкерсона
  
• Томас Х. Кормен и др. Алгоритмы: построение и анализ = INTRODUCTION TO ALGORITHMS. — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 1296. — ISBN 0-07-013151-1