Эргодическая марковская цепь — различия между версиями
(переструктурировал, выпилил треш) |
Whiplash (обсуждение | вклад) м (→Эргодическая теорема) |
||
Строка 21: | Строка 21: | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
− | '''Эргодическое (стационарное) распределение''' - распределение <tex>\pi = (\pi_1 | + | '''Эргодическое (стационарное) распределение''' - распределение <tex>\pi = (\pi_1 \dots \pi_n )</tex>, такое что <tex>\pi_i > 0,\; i \in \mathbb{N}</tex> и |
− | <tex>\lim\limits_{n \to \infty} p_{ij}^{(n)} = \pi_j | + | <tex>\lim\limits_{n \to \infty} p_{ij}^{(n)} = \pi_j</tex> (где <tex>p_{ij}^{(n)}</tex> - вероятность оказаться в <tex>j</tex>-ом состоянии, выйдя из <tex>i</tex>-ого, через <tex>n</tex> переходов). |
}} | }} | ||
Строка 39: | Строка 39: | ||
В случае циклической цепи переходы из одного циклического класса в другой возможны только при определенных значениях <tex> n </tex>, которые периодически повторяются. Таким образом, никакая степень матрицы переходов <tex>P</tex> не является положительной матрицей, и различные степени содержат нули на различных местах. С увеличением степени расположение этих нулей периодически повторяется. Следовательно, последовательность <tex>P^{n}</tex> не может сходиться в обычном смысле, для нее требуется так называемая суммируемость по Эйлеру. блаблабла доказательство | В случае циклической цепи переходы из одного циклического класса в другой возможны только при определенных значениях <tex> n </tex>, которые периодически повторяются. Таким образом, никакая степень матрицы переходов <tex>P</tex> не является положительной матрицей, и различные степени содержат нули на различных местах. С увеличением степени расположение этих нулей периодически повторяется. Следовательно, последовательность <tex>P^{n}</tex> не может сходиться в обычном смысле, для нее требуется так называемая суммируемость по Эйлеру. блаблабла доказательство | ||
}} | }} | ||
− | |||
==Пример== | ==Пример== |
Версия 01:38, 7 февраля 2012
Определение: |
Эргодическая марковская цепь — марковская цепь, целиком состоящая из одного эргодического класса. |
Содержание
Стационарный режим
Эргодические марковские цепи описываются сильно связным графом. Это означает, что в такой системе возможен переход из любого состояния в любое состояние за конечное число шагов.
Для эргодических цепей при достаточно большом времени функционирования (
) наступает стационарный режим, при котором вероятности состояний системы не зависят от времени и не зависят от распределения вероятностей в начальный момент времени, т.е. .Классификация эргодических цепей
Определение: |
В эргодической цепи можно выделить циклические классы. Количество циклических классов регулярной. С течением времени текущее состояние движется по циклическим классам в определенном порядке, причем каждые d шагов она оказывается в одном и том же циклическом классе. | называют периодом цепи, если цепь состоит целиком из одного циклического класса, её называют
Таким образом, эргодические цепи делятся на регулярные и циклические.
Эргодическая теорема
Определение: |
Эргодическое (стационарное) распределение - распределение | , такое что и (где - вероятность оказаться в -ом состоянии, выйдя из -ого, через переходов).
Для регулярных цепей
Доказательство теоремы для случая регулярных цепей приведено в конспекте про регулярные цепи.
Для циклических цепей
Теорема (Эргодическая теорема): |
здесь был треш |
Доказательство: |
В случае циклической цепи переходы из одного циклического класса в другой возможны только при определенных значениях | , которые периодически повторяются. Таким образом, никакая степень матрицы переходов не является положительной матрицей, и различные степени содержат нули на различных местах. С увеличением степени расположение этих нулей периодически повторяется. Следовательно, последовательность не может сходиться в обычном смысле, для нее требуется так называемая суммируемость по Эйлеру. блаблабла доказательство
Пример
Рассмотрим эксперимент по бросанию честной монеты. Тогда соответствующая этому эксперименту марковская цепь будет иметь 2 состояния. Состояние меняется на противоположное, при бросании монеты, с вероятностью
.Рассмотрим матрицу, следующего вида:
. Такая матрица является стохастической, а, значит, корректно определяет марковскую цепь. Такая цепь является эргодической, так как существует эргодическое распределение , такое что .Ссылки
Литература
Дж. Кемени, Дж. Снелл "Конечные цепи Маркова" - Издательство "Наука", 1970 г - 129 c.