Интеграл Дирихле

Для удобства вводим обозначения: [math]A_n(f,x)=A_n(x)=a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx}[/math],где [math]a_n[/math],[math]b_n[/math] — коэффициенты Фурье, [math]S_n(f,x)=S_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}A_k(x)[/math] — частичные суммы ряда Фурье, [math]\sigma(f,x)=\sigma(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}A_k(x)[/math] — ряд Фурье.

Следуя Дирихле, запишем частичную сумму ряда Фурье посредством интеграла:

[math]S_n(x)=[/math][math]\frac{1}{2\pi}\int\limits_{Q}f(t)dt+\sum\limits_{k=1}^{n}(\frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}f(t)\cos{kt}dt\cos{kx}dx+\frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}f(t)\sin{kt}dt\sin{kx}dx)[/math]

По свойствам интеграла, меняя местами значки интеграла и конечного суммирования, получим [math]\int\limits_{Q}f(t)\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}(\cos{kt}\cos{kx}+\sin{kt}\sin{kx})dt)=[/math] [math]\int\limits_{Q}f(t)\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}cos{k(x-t)})dt[/math]

Определение:

[math]D_n(t)=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt})[/math] — тригонометрический полином такого вида называется ядром Дирихле.

Подставляя эту функцию в только что полученную формулу, приходим

Определение:

[math]S_n(x)=\int\limits_{Q}f(t)D_n(x-t)dt[/math], что принято называть интегралом Дирихле

Из формулы для ядра видно, что ядро — четная функция, более того, если ядро заинтегрировать по всему участку, то такой интеграл равен [math]1[/math]. Воспользуемся свойством, что если [math]f[/math] — [math]2\pi[/math]-периодична, то [math]\int\limits_{Q}f=\int\limits_{a}^{a+2\pi}f[/math]. Проделав замену переменных [math]u=t-x[/math] в интеграле Дирихле, приходим к формуле:

Определение:

[math]S_n(x) = \int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt[/math]. В такой форме записи это называется интегралом свертки [math]f[/math] c ядром [math]D_n(t)[/math]

Чтобы применять этот интеграл, найдем замкнутое выражение для ядра.

Утверждение:

[math]D_n(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(n+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}[/math]

[math]\triangleright[/math]

По определению ядра: [math]D_n(f) = \frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt})[/math]. Домножим это выражение на [math]\sin{\frac{t}{2}}[/math]. [math]\sin{\frac{t}{2}}D_n(t)=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}\sin{\frac{t}{2}}+\sum\limits_{k=1}^{n}( cos{kt} - \sin{\frac{t}{2}}))=[/math] [math]\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}\sin{\frac{t}{2}}+\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^{n}(\sin{(k+\frac{1}{2})t}-\sin{(k-\frac{1}{2})t}))=[/math] [math]\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}sin{\frac{t}{2}}+\frac{1}{2}(\sin{(n+\frac{1}{2})t}-\sin{\frac{t}{2}}))=[/math] [math]\frac{1}{2\pi}\sin{(n+\frac{1}{2})t}[/math] Разделив обе части на [math]\sin{\frac{t}{2}}[/math], получим требуемую формулу.

[math]\triangleleft[/math]

Используя эту формулу, можно записать: [math]S_n(f,x)=\int\limits_{-\pi}^{pi}f(x+t)\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(k+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}dt=[/math]

Пользуясь четностью ядра и линейностью интеграла

[math]=\int\limits_{-\pi}^{0}+\int\limits_{0}^{pi}=\int\limits_{0}^{\pi}(f(x+t)+f(x-t))D_n(t)dt[/math]

Взяв [math]S \in \mathbb{R}[/math], [math]1=2\int\limits_{0}^{\pi}D_n(t)dt[/math], тогда [math]S=\int\limits_{0}^{\pi}2SD_n(t)dt[/math].

Приходим к формуле: [math]S_n(f,x)-S=\int\limits_{0}^{\pi}(f(x+t)+f(x-t)-2S)D_n(t)dt[/math] — основная формула для изучения сходимости ряда Фурье в индивидуальной точке [math]S[/math].