МП-автоматы, допуск по пустому стеку и по допускающему состоянию, эквивалентность

Допуск по заключительному состоянию

Определение:

Пусть [math]\mathcal{P}=\langle Q, \Sigma, \Gamma, \delta, s, Z_{0}, T\rangle[/math] — МП-автомат. Тогда языком, допускаемым автоматом [math]\mathcal{P}[/math] по заключительному состоянию, является [math]\mathcal {L(P)}=\{w\mid(s, w, Z_{0})\vdash^{*}(q, \varepsilon, \alpha)\} [/math] для некоторого состояния [math]q\in T[/math] и произвольной магазинной цепочки [math]\alpha[/math]. Начиная с стартовой вершины [math]s[/math] и с [math]w[/math] на входе, автомат [math]\mathcal {P}[/math] прочитывает слово [math]w[/math] и достигает допускающего состояния. Содержимое магазина в этот момент не имеет значения.

Допуск по пустому магазину

Определение:

Для МП-автомата [math]\mathcal{P}=\langle Q, \Sigma, \Gamma, \delta, s, Z_{0}\rangle[/math] определим множество допускаемых по пустому магазину слов как [math]\mathcal {N(P)}=\{w\mid(s, w, Z_{0})\vdash^{*}(q, \varepsilon, \varepsilon)\} [/math], где [math]q[/math] — произвольное состояние. Таким образом, автомат [math]\mathcal{P}[/math] прочитывает слово [math]w[/math], полностью опустошив свой магазин. Множество заключительных состояний [math]T[/math] не имеет значения.

Эквивалентность автоматов

Теорема:

Классы языков, допускаемых МП-автоматами по заключительному состоянию и по пустому магазину (стеку), совпадают.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\Rightarrow[/math] Исходя из МП-автомата [math]\mathcal{P}_{T}[/math], допускающего язык [math]L[/math] по заключительному состоянию, построим другой МП-автомат [math]\mathcal{P_{N}}[/math], который допускает язык [math]L[/math] по пустому стеку. 1. Добавим переходы по [math]\varepsilon[/math] из каждого допускающего состояния автомата [math]\mathcal{P}_{T}[/math] в новое состояние [math]p[/math], которое отвечает за очистку стека. Находясь в состоянии [math]p[/math], автомат [math]\mathcal{P_{N}}[/math] опустошает свой магазин и ничего не прочитывает на входе. Таким образом, как только исходный автомат [math]\mathcal{P}_{T}[/math] приходит в допускающее состояние, прочитав слово [math]w[/math], [math]\mathcal{P_{N}}[/math] опустошает свой магазин, также прочитав слово [math]w[/math]. 2. Во избежание случая, когда [math]\mathcal{P}_{T}[/math] может опустошить свой магазин без допуска, [math]\mathcal{P_{N}}[/math] использует свой маркер дна [math]Z_{1}[/math]. Добавление нового стартового состояния [math]s[/math] позволяет затолкнуть маркер [math]Z_{0}[/math] автомата [math]\mathcal{P}_{T}[/math] в магазин и перейти в стартовое состояние [math]\mathcal{P}_{T}[/math]. 3. Каждый переход [math]\mathcal{P}_{T}[/math] есть и у автомата [math]\mathcal{P_{N}}[/math], символ [math]Z_{1}[/math] хранится в магазине под всеми символами из [math]\Gamma[/math] и является символом, по которому нет переходов в [math]\mathcal{P}_{T}[/math]. Тогда [math]\mathcal{P_{N}}[/math] может совершить следующие действия: [math](s, w, Z_{1})\vdash (s_{0}, w, Z_{0} Z_{1})\vdash^{*} (q, \varepsilon, \alpha Z_{1})\vdash^{*} (p, \varepsilon,\varepsilon) [/math], что означает [math]\mathcal{P_{N}}[/math] допускает слово [math]w[/math] по пустому магазину. [math]\Leftarrow[/math] Исходя из МП-автомата [math]\mathcal{P}_{N}[/math], допускающего язык [math]L[/math] по пустому стеку, построим МП-автомат [math]\mathcal{P_{T}}[/math], допускающий [math]L[/math] по заключительному состоянию. 1. Добавим новый символ [math]Z_1[/math], не принадлежащий [math]\Gamma[/math], который будем маркером дна магазина нового автомата, позволяющий узнать, когда [math]\mathcal{P_{N}}[/math] опустошает свой магазин. Если построенный автомат [math]\mathcal{P}_{T}[/math] видит на вершине стека свой маркер, то он знает, что [math]\mathcal{P_{N}}[/math] опустошает свой магазин на этом же входе. 2. Добавим новое допускающее состояние [math]p[/math], в которое автомат переходит, как только обнаруживает, что [math]\mathcal{P_{N}}[/math] опустошил свой магазин. Таким образом допущенное слово по пустому стеку, будет допускаться и по заключительному состоянию, используя [math]\varepsilon[/math] переходы в новое состояние. 3. Каждый переход [math]\mathcal{P_{N}}[/math] есть и у автомата [math]\mathcal{P}_{T}[/math]. Тогда, согласно введенным начальному и заключительному состоянию, автомат [math]\mathcal{P}_{T}[/math] может совершить следующие действия: [math](s, w, Z_{1})\vdash (s_{0}, w, Z_{0} Z_{1})\vdash^{*} (q, \varepsilon, Z_{1})\vdash (p, \varepsilon,Z_{1}) [/math], что означает [math]\mathcal{P}_{T}[/math] допускает слово [math]w[/math] по заключительному состоянию [math]p[/math].

[math]\triangleleft[/math]