Теорема о существовании простого пути в случае существования пути — различия между версиями
(→Теорема о существовании простого пути в случае существования пути) |
|||
Строка 18: | Строка 18: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | Если существует [[Основные определения теории графов|путь]], то существует простой путь. | + | Если между двумя [[Основные определения теории графов|вершинами графа]] существует [[Основные определения теории графов|путь]], то между ними существует простой путь. |
|proof= | |proof= | ||
=== Доказательство построением === | === Доказательство построением === | ||
− | Возьмём любой из существующих путей: <tex>v_0e_1v_1e_2v_2 ... e_nv_n</tex>. | + | Возьмём любой из существующих путей между нужными нам вершинами: <tex>v_0e_1v_1e_2v_2 ... e_nv_n</tex>. |
* Алгоритм: | * Алгоритм: | ||
Строка 32: | Строка 32: | ||
=== Альтернативное === | === Альтернативное === | ||
− | Выберем из всех путей путь наименьшей длины. | + | Выберем из всех путей между данными вершинами путь наименьшей длины. |
Предположение: | Предположение: |
Версия 15:28, 4 марта 2012
Содержание
Определения
Определение: |
Простой (вершинно-простой) путь — путь, в котором каждая из вершин графа встречается не более одного раза. |
Определение: |
Реберно-простой путь — путь, в котором каждое из ребер графа встречается не более одного раза. |
Определение: |
Длина пути — количество рёбер, входящих в последовательность, задающую этот путь. |
Теорема о существовании простого пути в случае существования пути
Теорема: |
Если между двумя вершинами графа существует путь, то между ними существует простой путь. |
Доказательство: |
Доказательство построениемВозьмём любой из существующих путей между нужными нам вершинами: .
1. Для вершинынайдём момент её последнего вхождения в путь — . 2. Удалим отрезок пути от до , включительно. Получившаяся последовательность вершин и рёбер графа останется путём от до , и в нём вершина будет содержаться ровно один раз. Начнём процесс с вершины и будем повторять его каждый раз для следующей вершины нового пути, пока не дойдём до последней. По построению, получившийся путь будет содержать каждую из вершин графа не более одного раза, а значит, будет простым.АльтернативноеВыберем из всех путей между данными вершинами путь наименьшей длины. Предположение: Пусть он не простой.Тогда в нём содержатся две одинаковые вершины , . Удалим из исходного пути отрезок от до , включительно. Конечная последовательность также будет путём от до и станет короче исходной. Получено противоречие с условием: взятый нами путь оказался не кратчайшим. Значит, предположение неверно, выбранный путь — простой. |
Замечания
- Так как вершинно-простой путь всегда является рёберно-простым, данная теорема справедлива и для рёберно-простого пути.
- Теорема может быть сформулирована как для ориентированного, так и для неориентированного графа.