Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах

Эта статья находится в разработке!

Пусть [math]X[/math] — нормированное пространство, к примеру [math]L_p[/math]. Пусть [math]Y[/math] — линейное множество в [math]X[/math], например, [math]H_n[/math].

Определение:

Для [math]\forall x \in X[/math] величина [math]E_y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{||x-y||}[/math] называется наилучшим приближением точки [math]x[/math] элементами линейного множества [math]Y[/math]. Если при этом существует [math]y* \in Y[/math] такой, что [math]E_y(x)=||x-y*||[/math], то этот [math]y*[/math] называется элементом наилучшего приближения точки [math]ч[/math].

Заметим, что нет гарантий, что [math]y*[/math] единственный и что он вообще существует. [math]E_y(x) \ge 0[/math], если [math]x \in Y[/math], то [math]E_y(x)=0[/math], таким образом положительной определенности у этого функционала нет.

Утверждение:

Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника.

[math]\triangleright[/math]

Однородность: [math]\forall \varepsilon \gt 0[/math], по определению нижней грани [math]||x-y_{\varepsilon}||\lt E_y(x)+\varepsilon[/math], где [math]y_{\varepsilon}[/math]. [math]|\lambda|||x-y_{\varepsilon}||\lt |\lambda|E_y(x)+|\lambda|[/math], по аксиомам нормы: [math]|\lambda|||x-y_{\varepsilon}||=||\lambda x-\lambda y||[/math]. Так как [math]Y[/math] — линейное пространство, то [math]\lambda y_{\varepsilon} \in Y[/math] и [math]\lambda Y_{\varepsilon}\ge E_y(\lambda x)[/math], тогда [math]E_y(x) \lt |\lambda|E_y(x) - |\lambda|\varepsilon[/math], устремляя [math]\varepsilon \to 0[/math], получаем [math]E_y(\lambda x) \le |\lambda|E_y(x)[/math]. [math]E_y(x)=E_y(\lambda \frac{x}{\lambda}) \le |\lambda|E_y(\frac{x}{\lambda})[/math], то есть [math]\frac{1}{|\lambda|}E_y(x) \le E_y(\frac{x}{\lambda})[/math]. Пусть [math]\mu = \frac{1}{\lambda}[/math], тогда [math]|\mu|E_y(x) \le E_y(\mu x)[/math]. Таким образом получаем два противоположных неравенства, а следовательно [math]E_y(\lambda x)=|\lambda|E_y(x)[/math] Неравенство треугольника: [math]\forall \varepsilon \gt 0[/math]: [math]||x_1-y_{\varepsilon}||\lt E_y(x_1)+\varepsilon[/math] и [math]||x_2-z_{\varepsilon}||\lt E_y(x_2)+\varepsilon[/math], складывая эти два неравенства, получим [math]||x_1+y_{\varepsilon}||+||x_2+z_{\varepsilon}||\lt E_y(x_1)+E_y(x_2)+2\varepsilon[/math]. По свойствам нижней грани [math]E_y(x_1+x_2)\le ||(x_1+x_2)-(y_{\varepsilon}+z_{\varepsilon})||[/math], так как [math]y_{\varepsilon}+z_{\varepsilon} \in Y[/math]. Устремляя в предыдущем неравенстве [math]\varepsilon \to 0[/math], приходим к неравенству треугольника: [math]E_y(x_1+x_2)\le E_y(x_1)+E_y(y_1)[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Отметим некоторый технический момент, [math]\forall x \in X[/math], [math]\forall y \in Y[/math] выполняется: [math]E_y(x)=E_y((x+y)-y)\le E_y(x+y)+E(-y)[/math], [math]E_y(-y) = 0[/math], так как [math]y \in Y[/math], следовательно [math]E_y(x) \le E_y(x+y) /le E_y(x) + E_y(y) = E_y(x)[/math]. Замкнулись, то есть [math]\forall y \in Y E_y(x)=E_y(x+y)[/math]. Так же, так как [math]0 \in Y[/math], то [math]E_y(x) \le ||x-0||=||x||[/math], следовательно, [math]E_y(x) \le ||x||[/math]. Отсюда, если [math]x_n \to [/math], то [math]E_y(x_n) \to E_y(x)[/math], то есть как функционал [math]E[/math] непрерывно.

Основной интерес представляют конечномерные подпространства. Пусть [math]dim Y \lt +\infty[/math], [math]Y=\Lambda(e_1,..,e_p)[/math], тогда [math]dim Y = p[/math]. К примеру, [math]dim H_n = 2n+1 [/math], [math]H_n = \Lambda(1, \cos{x}, \sin{x},..,\cos{nx}, \sin{nx})[/math]

Теорема:

Пусть [math]X[/math] — нормированное пространство, [math]dim Y \lt +\infty[/math], [math]\forall x \in X[/math] [math]\exists y* \in Y[/math] т акой, что [math]E_y(x)=||x-y*||[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]e_1,..,e_n[/math] — базис [math]Y[/math], то есть [math]Y = \Lambda(e_1,..,e_n)[/math]. Рассмотрим функцию [math]f(\alpha_1,..,\alpha_n)=||x-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k||[/math], тогда ясно, что [math]E_y(x)=\inf\limits_{\overline{\alpha}\in \mathbb{R}^n}f(\alpha_1,..,\alpha_n)[/math]. Надо доказать, что существует [math]\overline{\alpha*}=(\alpha*_1,..,\alpha*_n)[/math], тогда в качестве [math]y*[/math] можно взять [math]y*=\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha*_k e_k[/math]. Доказательство существования будем вести с помощью теоремы Вейерштрасса, утверждающей, что если функция [math]n[/math] переменных непрерывна на компакте, то она принимает на нем свое минимальное значение. Проверим непрерывность: [math]|f(\overline{\alpha}+\Delta \overline{\alpha})-f(\overline{\alpha})|=|||x-\sum\limits_{k=1}^{n}(\alpha_k+\Delta\alpha_k)e_k||-||x-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k|||[/math][math]\le ||(x-\sum\limits_{k=1}^{n}(\alpha_k + \Delta \alpha_k)e_k)-(x-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_ke_k)||=||\sum\limits_{k=1}^{n}\Delta \alpha_k e_k|| \le\sum\limits_{k=1}^{n}|\Delta\alpha_k|||e_k||\le\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}||e_k||^2}\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\Delta\alpha^2_k}[/math]. Заметим, что [math]\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}||e_k||^2}[/math] число, а [math]\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\Delta\alpha^2_k}[/math] — норма для [math]\Delta\overline{\alpha}[/math] в [math]\mathbb{R}^n[/math], тогда из полученного неравенства очевидно, что [math]f[/math] — непрерывна. Обозначим буквой [math]M=2E_y(x)[/math]. Считаем, что [math]x \not\in Y[/math], тогда [math]E_y(x) \gt 0[/math], так как [math]E_y(x)=0[/math], [math]\forall n[/math] [math]\exists y_n \in Y[/math] такой, что [math]||x-y_n|| \lt \frac{1}{n}[/math]. Устремляя [math]n \to \infty[/math], получаем, что [math]||x-y_n|| \to 0[/math]. Так как [math]y_n \to x[/math] в [math]X[/math], а [math]dim Y \lt \infty[/math], то [math]Y[/math] замкнуто в [math]X[/math], [math]y_n \in Y[/math], значит и [math]x \in Y[/math], что противоречит нашему предположению. Теперь выясним на каком множестве гарантированно [math]f(\overline{\alpha}) \gt 2M[/math], то есть [math]||x-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k|| \gt 2M[/math]. [math]||x - \sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k|| \ge ||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k|| - ||x||[/math], то есть надо смотреть такие [math]\overline{\alpha}[/math], для которых выполнено условие: [math]||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k|| \gt M + ||x||[/math]. Если выполнено это неравенство, то в силу предыдущих выкладок, необходимое нам неравенство тоже выполнено. Тогда на совокупности точек [math]\overline{\alpha} \in \mathbb{R}^n[/math] таких, что [math]||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k|| \lt M + ||x||[/math] функция минимума достигать не может, так как [math]M[/math] само в два раза больше этого минимума, поэтому минимум может достигаться только на [math]T = \{\overline{\alpha} \in \mathbb{R}^n : ||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k|| \le M + ||x||\}[/math]. Если убедиться, что это множество компакт в [math]\mathbb{R}^n[/math], то по теореме Вейерштрасса, [math]f[/math] примет на нем свое минимальное значение, которое является наилучшим приближением. Компактом в [math]\mathbb{R}^n[/math] называют множество, которое содержит в себе пределы всех своих сходящихся подпоследовательностей, что равносильно ограниченности и замкнутости множества. [math]\overline{\alpha}^{(n)} \to \overline{\alpha}[/math], [math]\overline{\alpha}^{(n)} \in T[/math], так как сходимость покоординатная, то [math]\alpha^{(n)}_k \to \alpha_k[/math] для [math]k = \overline{1..n}[/math]. Проверим, что [math]||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_ke_k||\to||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k||[/math], но [math]||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k||\le M||x||[/math], тогда их предел ограничен этим же, а тогда [math]\overline{\alpha}\in T[/math], а значит [math]T[/math] — замкнуто. [math]|||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha^{(n)}_ke_k||-||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k|||\le||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha^{(n)}_ke_k-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_ke_k||=||\sum\limits_{k=1}^{n}(\alpha^{(n)}_k-\alpha_k)e_k||\le\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}||e_k||^2}\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}(\alpha^{(n)}_k-\alpha_k)}[/math]. Так как [math]\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}(\alpha^{(n)}_k-\alpha_k)} \to 0[/math], то [math]T[/math] — замкнуто. [math]||\overline{\alpha}|| = \sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k^2}[/math] — евклидова норма в [math]\mathbb{R}^n[/math]. [math]||\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k||=||\overline{\alpha}_k||||\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\alpha_k}{||\alpha_k||}e_k|| \le M + ||x||[/math]. Обозначим [math]\beta_k = \frac{\alpha_k}{||\alpha_k||}[/math] и заметим, что [math]\sum\limits_{k=1}^{n}\beta_k=1[/math]. Будем рассматривать суммы [math]||\sum\limits_{k=1}^{n}\beta_k e_k||[/math], нам необходимо доказать их ограниченность. Обозначим [math]m \inf\limits_{||\beta||=1}||\sum\limits_{k=1}^{n}\beta_k e_k||[/math], если эта величина больше нуля, то [math]||\overline{\alpha}|| \le \frac{M+||x||}{m}[/math]. Нижняя грань берется по единичной сфере в [math]\mathbb{R}^n[/math] (компакт в [math]\mathbb{R}^n[/math]), по непрерывной функции [math]\beta_k[/math], тогда по теореме Вейерштрасса, [math]\exists \beta*[/math] такая, что [math]||\beta*||=1[/math], если предположить, что [math]m = 0[/math], то [math]\sum\limits_{k=1}^{n}\beta*_k e_k = 0[/math], так как [math]e_k[/math] — независимы, то [math]\beta*_k=0[/math], следовательно [math]\sum\limits_{k=1}^{n}\beta*_k=0[/math], но этого быть не может, так как [math]\sum\limits_{k=1}^{n}\beta*_k=1[/math] по сказанному выше. Значит [math]m\gt 0[/math], а значит [math]T[/math] ограниченно, то есть [math]T[/math] — компакт. В силу вышесказанного выше, теорема доказана.

[math]\triangleleft[/math]

Если рассмотреть [math]C[0,1][/math], [math]||f||=\max\limits_{x \in [0,1]}|f(x)|[/math]. Если в качестве [math]A_n = \{\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k t^k, \alpha_k \in \mathbb{R}\}[/math] взять конечномерное подмножество [math]C[0,1][/math], далее начинать рассматривать [math]E_n(f)[/math] по доказанной теореме [math]\exists T_n(f) \in A_n[/math] такое, что [math]E_n(f)=|f-T_n(f)|[/math], так как [math]A_n \subset A_{n+1}[/math], то [math]E_n(f) /ge E_{n+1}(f)[/math], то есть [math]E_n(f)[/math] — убывает. Тогда по теореме Вейерштрасса любая непрерывная функция сколь угодно точно приближается полиномом, а значит [math]E_n(f) \to 0[/math]