Поиск подстроки в строке с использованием хеширования. Алгоритм Рабина-Карпа

Алгоритм Рабина — Карпа — это алгоритм поиска подстроки в строке, используя хеширование.

Метод хеширования

Выберем полиномиальный хеш - [math]hash(s[1..n]) = (p^{n - 1} s[1] + ... + p^{0} s[n])[/math] mod [math]r[/math], где [math]p[/math] - это некоторое простое число, а [math]r[/math] - некоторое большое число, чтобы было меньше коллизий (обычно берётся [math]2^{32}[/math] или [math]2^{64}[/math], чтобы модуль брался автоматически - при переполнении типов;). Заметим, что если 2 строчки имеют одинаковый хэш, то они в большинстве таких случаев равны.

Давайте научимся при удалении первого символа строки и добавлении символа в конец считать хеш новой строки при помощи хеша изначальной строки за [math]O(1)[/math]:

[math]hash(s[i + 1..i + m - 1]) = hash(s[i..i + m - 1]) - p^{m - 1} s[i][/math].

[math]hash(s[i + 1..i + m]) = p \cdot hash(s[i + 1..i + m - 1]) + s[i + m][/math].

Получается : [math]hash(s[i + 1..i + m]) = p \cdot hash(s[i..i + m - 1]) - p^{m} s[i] + s[i + m][/math].

Алгоритм

У нас есть шаблон - [math]p[1..m][/math]. У нас есть строка - [math]s[1..n][/math]. Мы хотим найти все вхождения шаблона в строку.

Давайте посчитаем [math]hash(s[1..m])[/math] и [math]hash(p[1..m])[/math].

И для [math]i \in [1..n - m + 1][/math] считаем [math]hash(s[i..i + m - 1][/math] - сравниваем с [math]hash(p[1..m])[/math]. Если они получаются равными - то мы считаем, что подстрока [math]p[/math] входит в строку [math]s[/math] (начиная с позиции [math]i[/math];) или мы проверяем, что подстрока является шаблоном, для этого выберем случайные символы из строк и сравним их.

Следует предподсчитать [math]p^{m}[/math].

Псевдо-код:

 1: function RabinKarp(string s[1..n], string p[1..m])
 2:   hp := hash(p[1..m])
 3:   h := hash(s[1..m])
 4:   for i from 1 to (n - m + 1)
 5:       if h = hp
 6:          answer.add(i)
 7:       h := p [math]\cdot[/math] h - [math]p^{m}[/math]s[i] + s[i + m]
 8:   if ans.size = 0 
 9:       return not found
 10:  else
 11:      return answer

7 строка была получена с помощью быстрого пересчёта хеша. Мы считаем, что [math]s[n + 1][/math] - пустой символ.

Посчитаем время работы.

Изначальный подсчёт хешей - [math]O(m)[/math]. В цикле всего [math]n - m + 1[/math] итераций - каждая выполняется за [math]O(1)[/math]. Итого - [math]O(n + m)[/math].

Литература

Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. — 2-е изд. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2007. — С. 1296.