Участник:Yulya3102/Матан — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: « == Теоремы == === Список === * '''Правило Лопиталя''' * Замечание о представимости функции рядо...»)
(нет различий)

Версия 15:54, 8 апреля 2012

Теоремы

Список

  • Правило Лопиталя
  • Замечание о представимости функции рядом Тейлора
  • Дифференцирование разложений Тейлора
  • Иррациональность числа e
  • Критерий монотонности и строгой монотонности
  • Теорема о необходимом и достаточном условии экстремума
  • Лемма о трех хордах
  • Теорема об односторонней дифференцируемости выпуклой функции
  • Следствие о точках разрыва производной выпуклой функции
  • Описание выпуклости с помощью касательных
  • Дифференциальный критерий выпуклости
  • Неравенство Йенсена
  • Неравенство Гельдера
  • Неравенство Минковского
  • Неравенство Коши
  • Теорема о свойствах неопределенного интеграла
  • Теорема о разложении рациональной дроби на простейшие
  • Лемма о свойствах сумм Дарбу
  • Критерий интегрируемости Римана
  • Интегрируемость на меньшем параллелепипеде
  • Аддитивность интеграла
  • Предел римановых сумм
  • Линейность интеграла
  • Монотонность интеграла
  • Интегрируемость модуля интегрируемой функции
  • Интегрируемость произведения
  • Интегрируемость частного
  • Ослабленный критерий Лебега. Следствие
  • Теорема о среднем. Следствия
  • Теорема Барроу
  • Формула Ньютона-Лейбница для кусочно-непрерывных функций
  • Замена переменных и интегрирование по частям в определенном инетграле
  • Иррациональность числа пи
  • Формула Валлиса
  • Формула Тейлора с интегральным остатком
  • Неравенство Чебышева для функций и конечных последовательностей
  • Неравенства Гельдера и Минковского
  • Неравенство Йенсена для интегралов. Неравенство Коши
  • Теорема о формуле трапеций
  • Формула Эйлера - Маклорена
  • Формула Стирлинга
  • Свойства несобственного интеграла: аддитивность, линейность, монотонность, интегрирование по частям
  • Признак сравнения сходимости несобственного интеграла


Правило Лопиталя

Правило Лопиталя для неопределенностей вида 0/0

Теорема:
Пусть:

[math]-\infty \le a \lt b \le +\infty[/math],

функции f и g дифференцируемы на (a, b),

[math]g'(t) \ne 0[/math] для любого [math]t \in (a, b)[/math],

[math]\underset {x \to a+}{\lim} f(x) = \underset{x \to a+}{lim} g(x) = 0[/math]

и существует предел [math]\underset{x \to a+}{lim} {{f'(x)} \over {g'(x)}} = A \in \overline{\mathbb{R}}[/math].

Тогда предел [math]\underset{x \to a+}{lim} {{f(x)} \over {g(x)}}[/math] также существует и равен A.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

1. Пусть [math]a \in \mathbb{R}[/math]. Доопределим функции в точке a нулём: [math]f(a) = g(a) = 0[/math]. Тогда доопределенные функции f и g будут непрерывны на [a, b). Возьмем последовательность [math]\{ x_n \} : x_n \in (a, b), x_n \to a[/math], и докажем, что [math]{{f(x_n)} \over {g(x_n)}} \to A[/math]. Функции f и g удовлетворяют условиям теоремы Коши на каждом отрезке [math][a, x_n][/math]. Поэтому для любого [math]n \in \mathbb{N}[/math] найдется такая точка [math]c_n \in (a, x_n)[/math], что

[math] {{f(x_n} \over {g(x_n)}} = {{f(x_n) - f(a)} \over {g(x_n) - g(a)}} = {{f'(c_n)} \over {g'(c_n)}}[/math].

По теореме о сжатой последовательности [math]c_n \to a[/math]. По определению правостороннего предела на языке последовательностей [math]{f'(c_n) \over g'(c_n)} \to A[/math], а тогда в силу произвольности [math] \{x_n\}[/math] и [math]{f(x) \over g(x)} \underset{x \to a+}{\to} A[/math].

2. Пусть [math]a = -\infty[/math]. В силу локальности предела можно считать, что b < 0. Положим [math]\phi (t) = f(-{1 \over t}), \psi (t) = g(-{1 \over t}) (t \in (0, - {1 \over b}))[/math]. Тогда

[math]\phi '(t) = {1 \over t^2} f'(-{1 \over t})[/math],

[math]\psi '(t) = {1 \over t^2} g'(-{1 \over t}) \ne 0[/math],

[math]\underset {t \to 0+}{lim} \phi (t) = \underset {x \to -\infty}{lim} f(x) = 0[/math],

[math]\underset {t \to 0+}{lim} \psi (t)= \underset {x \to -\infty}{lim} g(x) = 0[/math],

[math]\underset {t \to 0+}{lim} {\phi '(t) \over \psi '(t)} = \underset{x \to -\infty}{lim} {f'(x) \over g'(x)} = A[/math].

По доказанному

[math]\underset {x \to -\infty}{lim} {f(x) \over g(x)} = \underset {t \to 0+}{lim} {\phi (t) \over \psi (t)} = A[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Правило Лопиталя для неопределенностей вида inf/inf

Теорема:
Пусть:

[math]-\infty \le a \lt b \le +\infty[/math],

функции f и g дифференцируемы на (a, b),

[math]g'(t) \ne 0[/math] для любого [math]t \in (a, b)[/math],

[math]\underset{x \to a+}{lim} g(x) = \infty[/math]

и существует предел [math]\underset{x \to a+}{lim} {{f'(x)} \over {g'(x)}} = A \in \overline{\mathbb{R}}[/math].

Тогда предел [math]\underset{x \to a+}{lim} {{f(x)} \over {g(x)}}[/math] также существует и равен A.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

1. Пусть [math]A = 0[/math]. Возьмем последовательность [math]\{x_n\}[/math] со свойствами: [math]x_n \in (a, b), x_n \to a[/math], и докажем, что [math]{f(x_n) \over g(x_n)} \to 0[/math]. Зафиксируем число [math]\sigma \gt 0[/math]. По условию найдется такое [math]y \in (a, b)[/math], что для любого [math]c \in (a, y)[/math] будет [math]g(c) \ne 0[/math] и [math]\left\vert {f'(c) \over g'(c)}\right\vert \lt \sigma[/math]. Начиная с некоторого номера [math]x_n \in (a, y)[/math], поэтому можно считать, что [math]x_n \in (a, y)[/math] для всех n. По теореме Коши для любого n найдется такое [math]c_n \in (x_n, y)[/math], что

[math]{f(x_n) \over g(x_n)} = {f(x_n) - f(y) \over g(x_n) - g(y)} {g(x_n) - g(y) \over g(x_n)} + {f(y) \over g(x_n)} = {f'(c_n) \over g'(c_n)} \left ( 1 - {g(y) \over g(x_n)} \right ) + {f(y) \over g(x_n)}[/math].

Учитывая еще, что [math]g(x_n) \to \infty[/math], находим

[math]\left\vert {f(x_n) \over g(x_n)} \right\vert \le \sigma \left ( 1 + \left\vert{g(y) \over g(x_n)}\right\vert \right ) + \left\vert {f(y) \over g(x_n)}\right\vert \underset{n \to \infty}{\to} \sigma[/math].

Поэтому [math]\overline{lim} \left\vert {f(x_n) \over g(x_n)} \right\vert \le \sigma[/math]. Но, так как [math]\sigma[/math] произвольно, [math]\overline{lim} \left\vert {f(x_n) \over g(x_n)} \right\vert = 0[/math], а значит, и [math]lim {f(x_n) \over g(x_n)} = 0[/math].

2. Пусть [math]A \in \mathbb{R}[/math] произвольно. Положим [math]h = f - Ag[/math]. Тогда

[math]\underset{x \to a+}{lim} {h'(x) \over g'(x)} = \underset{x \to a+}{lim} \left ( {f'(x) \over g'(x)} - A \right ) = 0[/math].

По доказанному [math]{h(x) \over g(x)} \underset{x \to a+}{\to} 0[/math], то есть [math]{f(x) \over g(x)} \underset{x \to a+}{\to} A[/math].

3. Случай [math]A = +\infty[/math] рассматривается аналогично случаю [math]A = 0[/math]. При этом вместо [math]\left\vert {f'(c) \over g'(c)}\right\vert \lt \sigma[/math] используется неравенство [math]{f'(c) \over g'(c)} \gt M[/math] и доказывается, что [math]\underline{lim} {f(x_n) \over g(x_n)} \ge M[/math]. Случай [math]A = -\infty[/math] разбирается аналогично или сводится к случаю [math]A = +\infty[/math] переходом к функции [math]-f[/math].
[math]\triangleleft[/math]


Определения

Список

  • Ряды Тейлора основных элементарных функций
  • Локальный экстремум
  • Точка возрастания функции
  • Стационарная точка
  • Выпуклая функция
  • Выпуклое множество в R^m
  • Надграфик и подграфик
  • Опорная прямая
  • Первообразная
  • Таблица первообразных
  • Дробление отрезка
  • Дробление параллелепипеда
  • Что значит, что одно дробление мельче другого
  • Сумма Дарбу
  • Верхний интеграл Дарбу
  • Интегрируемая по Риману функция
  • Интеграл функции по параллелепипеду
  • Риманова сумма
  • Колебание функции на множестве
  • Множество объема 0
  • Множество меры 0
  • Интеграл с переменным верхним пределом
  • Кусочно-непрерывная функция
  • Почти первообразная
  • Несобственный интеграл