=== Дифференциальный критерий выпуклости ===
Виноградов{{Теорема|id=дифференциальные критерии выпуклости|statement=1. Пусть функция <tex>f</tex> непрерывна на <tex>\langle a,b\rangle</tex> и дифференцируема на <tex>(a,b)</tex>. Тогда <tex>f</tex> (строго) выпукла вниз на <tex>\langle a,b\rangle</tex> в том и только том случае когда <tex>f'</tex> (строго) возрастает на <tex>(a,b)</tex>. 2. Пусть функция <tex>f</tex> непрерывна на <tex>\langle a,b\rangle</tex> и дважды дифференцируема на <tex>(a,b)</tex>. Тогда <tex>f</tex> выпукла вниз на <tex>\langle a, b\rangle</tex> в том и только том случае, когда <tex>f''(x)\ge0\ \forall x\in(a,b)</tex>.|proof=1. Необходимость. Возьмем <tex>x_1,x_2\in(a,b):\ x_1<x_2</tex>. По [[#Теорема об односторонней дифференцируемости выпуклой функции|теореме об односторонней дифференцируемости выпуклой функции]] <tex>f'(x_1)\le{f(x_2)-f(x_1)\over x_2-x_1}\le f'(x_2)</tex>, что и означает возрастание <tex>f'</tex>. Достаточность. Возьмем <tex>x_1,x_2\in\langle a,b\rangle:\ x_1<x_2</tex>, и <tex>x\in(x_1,x_2)</tex>. По [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теоремы Лагранжа и Коши. Следствия об оценке приращения и о пределе производной|теореме Лагранжа]] <tex>\exists c_1\in(x_1,x),\ c_2\in(x,x_2):\ {f(x)-f(x_1)\over x-x_1}=f'(c_1),\ {f(x_2)-f(x)\over x_2-x}=f'(c_2).</tex> Тогда <tex>x_1<c_1<x<c_2<x_2</tex>, а <tex>f'</tex> по условию возрастает, поэтому <tex>f'(c_1)\le f'(c_2)</tex>, то есть <tex>{f(x)-f(x_1)\over x-x_1}\le{f(x_2)-f(x)\over x_2-x}</tex>, что равносильно [[#Выпуклая функция|неравенству из определения выпуклости]]. Если <tex>f</tex> строго выпукла вниз, то оба неравенства в доказательстве необходимости строгие. Обратно, если <tex>f'</tex> строго возрастает, то неравенство в доказательстве достаточности строгое, что влечет выпуклость <tex>f</tex>. 2. По пункту 1выпуклость <tex>f</tex> равносильна возрастанию <tex>f'</tex>, 234которое по [[#Критерий монотонности функции|критерию монотонности]] равносильно неотрицательности <tex>f''</tex>.}}
=== Неравенство Йенсена ===
