Теорема Махэни

Определение:

[math]LSAT=\{\langle\phi,y\rangle | \exists x: x\lt _{lex}y, \phi(x) = 1\}[/math].

Лемма:

[math]LSAT \in NPC[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Очевидно, что [math]LSAT \in NP[/math]. Сведём [math]SAT[/math] к [math]LSAT[/math]. Для этого рассмотрим отображение [math]\phi \mapsto \langle \phi, 1^m\rangle[/math], где [math]m[/math] — количество различных аргументов в формуле [math]\phi[/math]. Ясно, что данное преобразование можно сделать за полиномиальное время. Теперь докажем, что сведение верное. Если [math]\phi \in SAT[/math], то формула [math]\phi[/math] удовлетворима, а значит [math]\exists x: x \lt _{lex} 1^m, \phi(x)=1[/math]. Следовательно, [math]\langle \phi, 1^m\rangle \in LSAT[/math]. Если [math]\langle \phi, 1^m\rangle \in LSAT[/math], то [math]\exists x: x \lt _{lex} 1^m, \phi(x)=1[/math]. Значит формула [math]\phi[/math] удовлетворима, и [math]\phi \in SAT[/math]. Таким образом, [math]SAT \le LSAT[/math]. Но [math]SAT \in NPC[/math], а значит [math]\forall L \in NP \; L \le SAT[/math]. Тогда в силу транзитивности [math]\forall L \in NP \; L \le LSAT[/math], то есть [math]LSAT \in NPH[/math]. Итого мы доказали, что [math]LSAT \in NPH[/math] и [math]LSAT \in NP[/math]. Тогда по определению [math]LSAT \in NPC[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Лемма:

[math]\langle\phi,y\rangle \in LSAT, y\lt _{lex}z[/math]. Тогда [math]\langle\phi,z\rangle \in LSAT[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\langle\phi,y\rangle \in LSAT[/math]. Тогда [math]\exists x: x\lt _{lex}y, \phi(x) = 1[/math]. Так как [math]y\lt _{lex}z[/math], то [math]\exists x: x\lt _{lex}z, \phi(x) = 1[/math], следовательно [math]\langle\phi,z\rangle \in LSAT[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (Махэни):

[math]NPC \cap SPARSE \ne \varnothing \Rightarrow P=NP[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]S \in NPC \cap SPARSE[/math]. Так как [math]S\in NPC[/math], и [math]LSAT \in NP[/math], то существует полиномиальная функция сведения [math]f:LSAT \mapsto S[/math] такая, что [math]\langle \phi, y \rangle \in NPC \iff f(\langle \phi, y \rangle) \in S[/math]. Так как функция [math]f[/math] работает полиномиальное время, и [math]|\phi|=|y|[/math], то [math]f(\langle\phi,y\rangle) \le q(|\phi|)[/math], где [math]q[/math] — полином. [math]S\in SPARSE[/math]. Следовательно [math]\forall n |S \cap \Sigma^n|\le p(n)[/math], где [math]p[/math] — некоторый полином. Тогда [math]|\{x\in S\, |\, |x| \le q(|\phi|)\}| \le \sum\limits_{i=1}^{q(|\phi|)} p(i) = r(|\phi|)[/math], где [math]r[/math] — также полином. Опишем алгоритм для нахождения лексиграфически минимальной строки [math]x[/math], удовлетворяющей формулу [math]\phi[/math]. Пусть [math]n=|\phi|[/math]. Разобьём множество бинарных строк длины [math]n[/math] на [math]r+1[/math] подотрезок так, чтобы каждый подотрезок содержал не больше [math]\frac{2^n}{r+1}[/math] строк. Обозначим концы полученных подотрезков [math]w_0,...,w_{r+2}[/math].

[math]\triangleleft[/math]